А) Найдите координаты центра и радиус сферы, учитывая уравнение сферы: x2 + y2 − 4⋅y + z2 − 4⋅z −1=0. : Центр

a) Для нахождения координат центра сферы и ее радиуса, учитывая уравнение сферы \(x^2 + y^2 - 4y + z^2 - 4z - 1 = 0\), нам необходимо привести уравнение к стандартному виду, где центр сферы будет задан координатами \((h, k, l)\), а радиус будет равен \(R\).

Координаты центра сферы можно найти, выполнив следующие шаги:
1. Сгруппируйте переменные \(x\), \(y\) и \(z\) вместе, а константы в другую группу:
\(x^2 + y^2 - 4y + z^2 - 4z - 1 = 0\) преобразуется в \(x^2 + (y^2 - 4y) + (z^2 - 4z) - 1 = 0\).

2. Завершите квадратные выражения для переменных \(y\) и \(z\) путем добавления и вычитания соответствующих констант:
\(x^2 + (y^2 - 4y + 4) + (z^2 - 4z + 4) - 1 - 4 - 4 = 0\), которое можно переписать как \(x^2 + (y - 2)^2 + (z - 2)^2 = 12\).
Обратите внимание, что мы добавили \(4\) к каждому из квадратных выражений и вычли \(4\) и \(4\) в конце.

Таким образом, мы получаем стандартное уравнение сферы: \(x^2 + (y - 2)^2 + (z - 2)^2 = 12\).

Сравнивая это с общим уравнением сферы \((x - h)^2 + (y - k)^2 + (z - l)^2 = R^2\), мы можем сделать следующие выводы:
Центр сферы O имеет координаты (0 ; 2 ; 2), а радиус R равен \(\sqrt{12} \approx 3.464\).

b) Для нахождения уравнения сферы по известным координатам центра O(4; 2; 2) и координатам точки B(2; 0; 1), лежащей на сфере, мы можем использовать следующую формулу:

\((x - h)^2 + (y - k)^2 + (z - l)^2 = R^2\)

Подставляя известные значения, мы получаем:

\((x - 4)^2 + (y - 2)^2 + (z - 2)^2 = R^2\)

Теперь остается только вычислить значение радиуса \(R\). Используя координаты центра O и точки B, мы можем вычислить радиус:

\(R^2 = (x - 4)^2 + (y - 2)^2 + (z - 2)^2\)

Подставляя координаты точки B (2; 0; 1), мы получаем:

\(R^2 = (2 - 4)^2 + (0 - 2)^2 + (1 - 2)^2\)

Вычисляя это, получаем:

\(R^2 = 4 + 4 + 1\)

\(R^2 = 9\)

Следовательно, уравнение сферы с данными координатами центра O (4; 2; 2) и координатами точки B (2; 0; 1) будет:

\((x - 4)^2 + (y - 2)^2 + (z - 2)^2 = 9\)

Надеюсь, это объяснение помогло вам понять решение задачи.