а) Нарисуйте график функции y=1/5x^2 на интервале [-5; 5] б) Проходит ли график через точку а (0,1; 0,002)? в) Каковы

Давайте решим эту задачу пошагово:

а) Чтобы нарисовать график функции \(y = \frac{1}{5}x^2\) на интервале \([-5; 5]\), мы сначала должны построить таблицу значений.

Для этого, давайте выберем несколько значений \(x\) в пределах интервала \([-5; 5]\) и найдём соответствующие значения \(y\). Затем мы построим точки и соединим их линией, чтобы получить график.

Давайте выберем значения \(x\) равные -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 и 5:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y \\
\hline
-5 & \frac{1}{5}(-5)^2 \\
-4 & \frac{1}{5}(-4)^2 \\
-3 & \frac{1}{5}(-3)^2 \\
-2 & \frac{1}{5}(-2)^2 \\
-1 & \frac{1}{5}(-1)^2 \\
0 & \frac{1}{5}(0)^2 \\
1 & \frac{1}{5}(1)^2 \\
2 & \frac{1}{5}(2)^2 \\
3 & \frac{1}{5}(3)^2 \\
4 & \frac{1}{5}(4)^2 \\
5 & \frac{1}{5}(5)^2 \\
\hline
\end{array}
\]

Теперь вычислим значения \(y\) для каждого из этих \(x\)-ов:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y \\
\hline
-5 & \frac{1}{5}(25) \\
-4 & \frac{1}{5}(16) \\
-3 & \frac{1}{5}(9) \\
-2 & \frac{1}{5}(4) \\
-1 & \frac{1}{5}(1) \\
0 & \frac{1}{5}(0) \\
1 & \frac{1}{5}(1) \\
2 & \frac{1}{5}(4) \\
3 & \frac{1}{5}(9) \\
4 & \frac{1}{5}(16) \\
5 & \frac{1}{5}(25) \\
\hline
\end{array}
\]

Теперь, используя полученные значения, мы можем построить график функции \(y = \frac{1}{5}x^2\) на интервале \([-5; 5]\). Давайте нарисуем его.

(вставка графика функции \(y = \frac{1}{5}x^2\) на интервале \([-5; 5]\))

б) Чтобы проверить, проходит ли график через точку A (0,1; 0,002), мы подставим значения координат точки в уравнение функции и проверим, выполняется ли равенство.

Для точки \(A(0,1; 0,002)\), координата \(x\) равна 0 и координата \(y\) равна 0,002. Подставим эти значения в уравнение функции \(y = \frac{1}{5}x^2\):

\[0,002 = \frac{1}{5}(0)^2\]

Упрощаем выражение:

\[0,002 = 0\]

Видим, что это уравнение не выполняется. Значит, график функции \(y = \frac{1}{5}x^2\) не проходит через точку \(A(0,1; 0,002)\).

в) Чтобы найти координаты точек пересечения графика с прямой \(y = \frac{1}{5}\), мы приравниваем уравнения функции и прямой и решаем уравнение относительно \(x\).

Уравнение функции \(y = \frac{1}{5}x^2\) и уравнение прямой \(y = \frac{1}{5}\) можно приравнять:

\[\frac{1}{5}x^2 = \frac{1}{5}\]

Для решения этого уравнения перенесём все члены в одну сторону и приведём его к каноническому виду:

\[\frac{1}{5}x^2 - \frac{1}{5} = 0\]

\[\frac{1}{5}(x^2 - 1) = 0\]

Теперь мы можем решить это уравнение. Так как произведение равно нулю, то один из множителей должен быть равен нулю:

\(x^2 - 1 = 0\)

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью формулы дискриминанта. Дискриминант \(D\) равен:

\[D = b^2 - 4ac\]

В данном случае \(a = 1\), \(b = 0\), и \(c = -1\):

\[D = (0)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)\]

\[D = 0 - (-4)\]

\[D = 4\]

Так как дискриминант \(D\) больше нуля, у уравнения есть два корня:

\[x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}\]
\[x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\]

Подставим значения \(a\), \(b\), и \(D\):

\[x_1 = \frac{0 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1}\]
\[x_2 = \frac{0 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1}\]

\[x_1 = \frac{-2}{2} = -1\]
\[x_2 = \frac{2}{2} = 1\]

Таким образом, точки пересечения графика функции с прямой \(y = \frac{1}{5}\) имеют координаты \((-1, \frac{1}{5})\) и \((1, \frac{1}{5})\).

г) Чтобы найти максимальное и минимальное значение функции на интервале \([-5; 5]\), мы можем использовать производные.

Производная функции \(y = \frac{1}{5}x^2\) равна:

\[\frac{dy}{dx} = \frac{2}{5}x\]

Чтобы найти экстремумы функции, мы должны найти значения \(x\), при которых производная равна нулю или не существует.

Найдём значения \(x\) для \(\frac{2}{5}x = 0\):

\[\frac{2}{5}x = 0\]

\(x = 0\)

Функция имеет единственный экстремум, который находится при \(x = 0\).

Теперь нам остаётся найти значение \(y\) для \(x = 0\):

\[y = \frac{1}{5}(0)^2 = 0\]

Таким образом, функция достигает своего минимального значения равного 0 при \(x = 0\) на интервале \([-5; 5]\).

Кроме того, функция не имеет максимального значения на данном интервале, так как при росте \(x\) значения \(y\) также будут расти, но не ограничены сверху.

Итак, мы рассмотрели график функции, проходит ли он через заданную точку, нашли координаты пересечения с прямой и определили экстремумы на заданном интервале.