а) Каковы координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением x2+y2+z2-4x+6y=36? б) Какое значение m необходимо

Задача а) состоит в определении координат центра и радиуса сферы, заданной уравнением \(x^2+y^2+z^2-4x+6y=36\).

Для начала, давайте приведем уравнение сферы к стандартному виду. Для этого необходимо перегруппировать члены и завершить квадратные выражения:

\[x^2 - 4x + y^2 + 6y + z^2 = 36.\]

Далее, выделим полные квадраты для \(x\) и \(y\) путем добавления и вычитания соответствующих постоянных:

\[(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) + z^2 = 36 + 4 + 9.\]

Получаем:

\[(x-2)^2 + (y+3)^2 + z^2 = 49.\]

Теперь уравнение сферы имеет стандартную форму:

\[(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2,\]

где \((a, b, c)\) - координаты центра сферы, а \(r\) - радиус сферы.

Сравнивая это уравнение с нашим, мы получаем:

\(a = 2\), \(b = -3\), \(c = 0\) и \(r^2 = 49\).

Таким образом, центр сферы расположен в точке \((2, -3, 0)\), а радиус сферы равен \(\sqrt{49} = 7\).

Ответ: координаты центра сферы - (2, -3, 0), радиус сферы - 7.

Перейдем к задаче б). Нам необходимо найти значение \(m\), при котором точки \(A(m, -3, 1)\) и \(B(5, -1, m-1)\) принадлежат данной сфере.

Для этого подставим координаты точки \(A\) в уравнение сферы:

\((m - 2)^2 + (-3 + 3)^2 + (1 - 0)^2 = 49,\)

\(m^2 - 4m + 4 + 0 + 1 = 49,\)

\(m^2 - 4m + 5 = 49,\)

\(m^2 - 4m - 44 = 0.\)

Теперь решим это квадратное уравнение.

Факторизуем его или воспользуемся квадратным корнем:

\(m = \frac{4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-44)}}{2 \cdot 1},\)

\(m = \frac{4 \pm \sqrt{176}}{2},\)

\(m = \frac{4 \pm 4\sqrt{11}}{2},\)

\(m = 2 \pm 2\sqrt{11}.\)

Итак, мы получили два решения: \(m = 2 + 2\sqrt{11}\) и \(m = 2 - 2\sqrt{11}\).

Ответ: для того чтобы точки \(A\) и \(B\) принадлежали данной сфере, \(m\) должно быть равно \(2 + 2\sqrt{11}\) или \(2 - 2\sqrt{11}\).