а) Каково ускорение свободного падения на поверхности планеты, если ее радиус составляет 5000 километров, а масса

а) Чтобы решить эту задачу, мы воспользуемся формулой для ускорения свободного падения, которая связана с массой планеты и ее радиусом. Ускорение свободного падения можно вычислить с использованием следующей формулы:

\[ a = \frac{{G \cdot M}}{{r^2}} \]

где \( a \) - ускорение свободного падения, \( G \) - гравитационная постоянная, \( M \) - масса планеты, \( r \) - радиус планеты.

Гравитационная постоянная \( G \) равна \( 6.67430 \times 10^{-11} \, \text{м}^3 \, \text{кг}^{-1} \, \text{с}^{-2} \).

Подставим значения в формулу:

\[ a = \frac{{6.67430 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24}}}{{(5000 \times 1000)^2}} \]

Выполним вычисления:
\[ a = \frac{{40.0458}}{{25000000}} \]

Получим значение ускорения свободного падения на поверхности планеты.

б) Чтобы найти высоту над поверхностью планеты, на которой ускорение свободного падения уменьшится в 3 раза по сравнению с его значением на поверхности, мы можем воспользоваться законом всемирного тяготения.

Расстояние от центра планеты до точки, где ускорение свободного падения уменьшится в 3 раза, обозначим как \( h \).

Воспользуемся измененной формулой для ускорения свободного падения:

\[ a = \frac{{G \cdot M}}{{(r + h)^2}} \]

где \( a \) - ускорение свободного падения на поверхности планеты, \( G \) - гравитационная постоянная, \( M \) - масса планеты, \( r \) - радиус планеты, \( h \) - высота над поверхностью планеты.

Подставим значения в формулу:

\[ \frac{{a}}{{3}} = \frac{{G \cdot M}}{{(r + h)^2}} \]

Выразим \( h \):

\[ h = \sqrt{{\frac{{G \cdot M}}{{\frac{{a}}{{3}}}}}} - r \]

теперь вы можете подставить значения ускорения свободного падения \( a \), гравитационной постоянной \( G \), массы планеты \( M \) и радиуса планеты \( r \), чтобы получить значение высоты \( h \).

в) Чтобы найти высоту над поверхностью планеты, на которой ускорение свободного падения составляет 3 м/с², мы также можем использовать измененную формулу для ускорения свободного падения:

\[ a = \frac{{G \cdot M}}{{(r + h)^2}} \]

где \( a \) - ускорение свободного падения, \( G \) - гравитационная постоянная, \( M \) - масса планеты, \( r \) - радиус планеты, \( h \) - высота над поверхностью планеты.

Подставим значения в формулу:

\[ 3 = \frac{{G \cdot M}}{{(r + h)^2}} \]

Выразим \( h \):

\[ h = \sqrt{{\frac{{G \cdot M}}{{3}}}} - r \]

теперь вы можете подставить значения гравитационной постоянной \( G \), массы планеты \( M \) и радиуса планеты \( r \), чтобы получить значение высоты \( h \).