а) Какова область определения функции у=f(x)? б) Какие промежутки возрастания и убывания функции у=f(x)?

Хорошо, давайте начнем. Предположим, у нас есть функция \(f(x)\). Я разберу каждый из ваших вопросов по порядку, чтобы обеспечить максимальную ясность.

а) Область определения функции \(y = f(x)\) - это множество всех значений \(x\), для которых функция определена и имеет смысл. Для того чтобы определить область определения, нужно найти все ограничения на переменную \(x\) в функции. Это может означать, что некоторые значения \(x\) могут быть запрещены из-за наличия знаменателя или корня в функции, или других ограничений. Давайте приведем некоторые примеры.

Пример 1: Пусть функция \(f(x) = \frac{1}{x}\). В этом случае, функция не определена при \(x = 0\), так как деление на ноль невозможно. Следовательно, область определения функции \(f(x) = \frac{1}{x}\) будет \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\), то есть все действительные числа, кроме нуля.

Пример 2: Пусть функция \(f(x) = \sqrt{x}\). В этом случае, функция не определена для отрицательных значений \(x\), так как извлечение квадратного корня из отрицательного числа невозможно в действительных числах. Следовательно, область определения функции \(f(x) = \sqrt{x}\) будет \([0, +\infty)\), то есть все неотрицательные действительные числа.

Таким образом, чтобы найти область определения вашей конкретной функции \(y = f(x)\), необходимо проанализировать функцию и выяснить, существуют ли какие-либо ограничения на переменную \(x\). Если ограничения существуют, они должны быть учтены в области определения.

б) Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции \(y = f(x)\), необходимо анализировать производную функции. Промежутки возрастания функции - это интервалы, на которых производная положительна, то есть функция \(\frac{{dy}}{{dx}}\) положительна. Промежутки убывания функции - это интервалы, на которых производная отрицательна, то есть функция \(\frac{{dy}}{{dx}}\) отрицательна.

Пример: Для функции \(f(x) = x^2\), производная функции равна \(\frac{{dy}}{{dx}} = 2x\). Производная положительна при \(x > 0\), значит функция возрастает на интервале \((0, +\infty)\). Производная отрицательна при \(x < 0\), значит функция убывает на интервале \((-\infty, 0)\).

в) Нули функции \(y = f(x)\) - это значения \(x\), при которых функция равна нулю. Чтобы найти нули функции, необходимо решить уравнение \(f(x) = 0\) для \(x\).

Пример: Пусть функция \(f(x) = x^2 - 4\). Чтобы найти нули функции, нужно решить уравнение \(x^2 - 4 = 0\). Это уравнение можно факторизовать: \((x - 2)(x + 2) = 0\). Отсюда получаем два значения \(x\): 2 и -2. Это означает, что нули функции \(f(x) = x^2 - 4\) равны \(x = 2\) и \(x = -2\).

г) Наибольшее и наименьшее значения функции \(y = f(x)\) зависят от типа функции и ее области определения. Например, если функция ограничена на каком-то промежутке или имеет асимптоты, то наибольшее и наименьшее значения могут быть определены на этом промежутке или около асимптоты.

Пример: Пусть функция \(f(x) = x^2\) на промежутке (-2, 2). На этом промежутке функция всегда положительна или равна нулю, поскольку квадрат положительного числа всегда дает положительное число или ноль. Таким образом, наименьшее значение функции равно 0 и достигается при \(x = 0\), а наибольшего значения нет.

д) Чтобы определить, при каких значениях \(x\) выполняется условие \(−4 ≤ f(x) ≤ 2\), необходимо решить двойное неравенство. Для этого нужно найти значения \(x\), которые удовлетворяют обоим неравенствам.

Пример: Пусть функция \(f(x) = x^2 - 3x + 2\). Чтобы найти значения \(x\), при которых выполняется условие \(−4 ≤ f(x) ≤ 2\), нужно решить неравенства \(−4 ≤ x^2 - 3x + 2 ≤ 2\). Подобные неравенства могут быть решены путем нахождения корней квадратного уравнения \(x^2 - 3x + 2 = 0\) и анализа знаков между корнями. После решения получим интервалы значений \(x\), при которых выполняется условие.

е) Промежутки знакопостоянства функции \(y = f(x)\) определяются знаком функции на различных интервалах. Например, если функция положительна на каком-то интервале, то она знакопостоянна положительна. Если функция отрицательна на каком-то интервале, то она знакопостоянна отрицательна.

Пример: Пусть функция \(f(x) = x^2 - 4x + 3\). Чтобы найти промежутки знакопостоянства функции, нужно анализировать интервалы, на которых функция больше нуля или меньше нуля. Опять же, решая неравенство \(f(x) > 0\) или \(f(x) < 0\), можно найти интервалы знакопостоянства.

ж) Экстремумы функции \(y = f(x)\) возникают в точках, где производная функции обращается в ноль или не существует. Это могут быть локальные максимумы или минимумы. Также, если функция имеет границы или асимптоты, экстремумы могут возникать на этих точках.

Пример: Пусть функция \(f(x) = x^3 - 3x^2\). Чтобы найти экстремумы функции, необходимо найти точки, в которых производная равна нулю или не существует. Для функции \(f(x) = x^3 - 3x^2\), производная равна \(\frac{{dy}}{{dx}} = 3x^2 - 6x\). Следовательно, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение \(3x^2 - 6x = 0\) и найти значения \(x\), в которых производная обращается в ноль.