А) Какова длина наклонного отрезка от точки М до плоскости, если перпендикуляр равен 10 см и угол между наклонной

а) Длина наклонного отрезка от точки М до плоскости может быть найдена с помощью теоремы Пифагора. Для нахождения решения нам понадобится треугольник, состоящий из перпендикуляра, наклонного отрезка и гипотенузы.

Первым шагом, найдем длину гипотенузы треугольника. У нас есть перпендикуляр равный 10 см, и угол между наклонной и плоскостью составляет 60 градусов. Так как угол между наклонной и плоскостью составляет 60 градусов, то угол между гипотенузой и перпендикуляром также будет 60 градусов. Таким образом, у нас получится прямоугольный треугольник со сторонами 10 см и гипотенузой, которую мы обозначим как $c$.

Используем теорему Пифагора:
$$c^2=a^2+b^2$$
где $a=10$ см, $b$ - длина наклонного отрезка.

Так как $c=10$ см и $a=10$ см:
$${10}^2={10}^2+b^2$$
$$100=100+b^2$$
$$b^2=0$$

Используя это уравнение, мы можем найти, что длина наклонного отрезка равна 0 см. То есть, от точки М до плоскости нет расстояния.

б) Для нахождения угла между плоскостью квадрата и плоскостью ромба, нам понадобится знать ортогональную проекцию квадрата на плоскость, содержащую одну из его вершин, является ромбом с диагоналями 2корень2 дм и 4корень2 дм.

Поскольку диагональ ромба является ортогональной проекцией квадрата на данную плоскость, угол между этими двумя плоскостями будет равен углу между диагональю ромба и одной из сторон квадрата. Обозначим этот угол как $\theta$.

Используя теорему косинусов для треугольника со сторонами 2корень2 дм, 4корень2 дм и стороной квадрата, которую мы обозначим как $a$, мы можем выразить угол $\theta$:
$$\cos (\theta )=\frac{(4\sqrt{2}{)}^2+(a{)}^2-(2\sqrt{2}{)}^2}{2\cdot 4\sqrt{2}\cdot a}$$

Упростим:
$$\cos (\theta )=\frac{32+a^2-8}{8\sqrt{2}\cdot a}$$
$$\cos (\theta )=\frac{a^2+24}{8\sqrt{2}\cdot a}$$

Теперь мы можем найти угол $\theta$ с помощью обратной функции косинуса:
$$\theta =\arccos \left(\frac{a^2+24}{8\sqrt{2}\cdot a}\right)$$

в) Для нахождения площади треугольника АВС, нам понадобится проведенная через гипотенузу АВ плоскость а, образующая с плоскостью треугольника угол 30 градусов, а расстояние от вершины С до плоскости а равно...

К сожалению, в вашем сообщении нет информации о расстоянии от вершины С до плоскости а. Пожалуйста, предоставьте эту информацию, и я с радостью помогу вам найти площадь треугольника АВС.