а) Какова длина медианы СД треугольника авс, если известны его координаты вершин: А(0;3;4),В(4;-1;2),С(1 ;1;2)?

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу для нахождения длины медианы треугольника в трехмерном пространстве. Давайте последовательно решим оба задания.

а) Найдем длину медианы СD треугольника АВС.

1. Найдем координаты точки D, являющейся серединой стороны АВ. Для этого сложим координаты точек А и В и разделим результат на 2.
\(D\left(\frac{{0 + 4}}{{2}};\frac{{3 - 1}}{{2}};\frac{{4 + 2}}{{2}}\right)\)
\(D(2;1;3)\)

2. Найдем длину вектора CD. Для этого вычислим разницу между координатами точек С и D, возведем каждую разницу в квадрат, сложим результаты и извлечем корень квадратный.
\(CD = \sqrt{{(x_C - x_D)^2 + (y_C - y_D)^2 + (z_C - z_D)^2}}\)
\(CD = \sqrt{{(1 - 2)^2 + (1 - 1)^2 + (2 - 3)^2}}\)
\(CD = \sqrt{{1 + 0 + 1}}\)
\(CD = \sqrt{{2}}\)

Ответ: Длина медианы СD треугольника АВС равна \(\sqrt{{2}}\).

б) Чтобы определить, является ли треугольник АВС прямоугольным, основываясь на его координатах вершин, мы можем использовать свойство произведения скорых векторов. Если это произведение равно нулю, то треугольник АВС является прямоугольным.

1. Составим векторы AB и BC, используя координаты вершин А, В и С:
\[\vec{{AB}} = \begin{{pmatrix}} x_B - x_A \\ y_B - y_A \\ z_B - z_A \end{{pmatrix}} = \begin{{pmatrix}} 4 - 0 \\ -1 - 3 \\ 2 - 4 \end{{pmatrix}} = \begin{{pmatrix}} 4 \\ -4 \\ -2 \end{{pmatrix}}\]
\[\vec{{BC}} = \begin{{pmatrix}} x_C - x_B \\ y_C - y_B \\ z_C - z_B \end{{pmatrix}} = \begin{{pmatrix}} 1 - 4 \\ 1 - (-1) \\ 2 - 2 \end{{pmatrix}} = \begin{{pmatrix}} -3 \\ 2 \\ 0 \end{{pmatrix}}\]

2. Вычислим скалярное произведение векторов AB и BC:
\[\vec{{AB}} \cdot \vec{{BC}} = (4)(-3) + (-4)(2) + (-2)(0) = -12 - 8 + 0 = -20\]

3. Если полученное скалярное произведение равно нулю, то треугольник АВС является прямоугольным. В данном случае \(\vec{{AB}} \cdot \vec{{BC}} = -20\), что не равно нулю.

Ответ: Треугольник АВС не является прямоугольным на основе его координат вершин.