а) Какое уравнение медианы АМ в треугольнике АВС с вершинами А(-6;2), В(2;-2) и С(1;2)? б) Какое уравнение

Конечно! Давайте решим эти задачи по порядку.

а) Для нахождения уравнения медианы АМ в треугольнике АВС, нам необходимо найти координаты точки М - середины стороны AB.

Для этого мы можем использовать формулу нахождения середины отрезка: координаты точки М равны средним значениям координат его концов.

Координаты точки А: (-6, 2)
Координаты точки В: (2, -2)

Найдем средние значения координат:
x-координата точки М: \(\frac{{-6 + 2}}{2} = -2\)
y-координата точки М: \(\frac{{2 + (-2)}}{2} = 0\)

Таким образом, координаты точки М равны (-2, 0).

Теперь, чтобы найти уравнение медианы АМ, нам нужно найти уравнение прямой, проходящей через точки А и М. Для этого мы можем использовать уравнение прямой в общем виде: \(y = kx + b\), где k - наклон прямой, b - свободный член.

Найдем наклон прямой МА:
\(k = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}} = \frac{{0 - 2}}{{-2 - (-6)}} = \frac{{-2}}{{4}} = -\frac{1}{2}\)

Теперь найдем свободный член b, подставив в уравнение координаты одной из точек (например, А):
\(2 = -\frac{1}{2} \cdot (-6) + b\)
\(2 = 3 + b\)
\(b = -1\)

Таким образом, уравнение медианы АМ имеет вид: \(y = -\frac{1}{2}x - 1\).

б) Чтобы найти уравнение перпендикуляра, опущенного из В на АМ, нам нужно использовать свойство перпендикулярных прямых - их наклоны являются отрицательными обратными числами.

Мы уже нашли наклон медианы АМ, который равен -1/2. Чтобы получить наклон перпендикуляра, возьмем его отрицательную обратную величину:
\(k_{\perp} = -\frac{1}{k_{\text{медианы АМ}}}\)
\(k_{\perp} = -\frac{1}{-\frac{1}{2}} = 2\)

Теперь, чтобы найти уравнение перпендикуляра, опущенного из В на АМ, нам нужно воспользоваться формулой прямой, проходящей через точку и имеющей заданный наклон: \(y - y_1 = k(x - x_1)\), где \(x_1\) и \(y_1\) - координаты точки В.

Подставим значения:
\(x_1 = 2\)
\(y_1 = -2\)
\(k = 2\)

Тогда уравнение перпендикуляра будет иметь вид:
\(y - (-2) = 2(x - 2)\)
\(y + 2 = 2x - 4\)
\(y = 2x - 6\)

в) Для нахождения длины высоты ВН в треугольнике АВС сначала найдем уравнение прямой АВ, затем найдем уравнение прямой, перпендикулярной АВ и проходящей через точку С. Точка пересечения этих прямых будет являться основанием высоты, а расстояние между точками С и основанием - длиной высоты ВН.

Найдем уравнение прямой АВ, используя формулу:
\(y - y_1 = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}(x - x_1)\), где \(x_1\) и \(y_1\) - координаты точки А, \(x_2\) и \(y_2\) - координаты точки В.

Подставим значения:
\(x_1 = -6\)
\(y_1 = 2\)
\(x_2 = 2\)
\(y_2 = -2\)

Тогда уравнение прямой АВ будет иметь вид:
\(y - 2 = \frac{{-2 - 2}}{{2 - (-6)}}(x - (-6))\)
\(y - 2 = \frac{{-4}}{{8}}(x + 6)\)
\(y - 2 = -\frac{1}{2}(x + 6)\)
\(y - 2 = -\frac{1}{2}x - 3\)
\(y = -\frac{1}{2}x - 1\)

Теперь найдем уравнение прямой, перпендикулярной АВ и проходящей через точку С. Мы уже знаем, что наклон перпендикуляра будет равен -2 (отрицательная обратная величина наклона АВ).

Используем формулу прямой:
\(y - y_1 = k(x - x_1)\), где \(x_1\) и \(y_1\) - координаты точки С, а \(k\) - наклон перпендикуляра.

Подставим значения:
\(x_1 = 1\)
\(y_1 = 2\)
\(k = -2\)

Тогда уравнение перпендикуляра будет иметь вид:
\(y - 2 = -2(x - 1)\)
\(y - 2 = -2x + 2\)
\(y = -2x + 4\)

Теперь найдем точку пересечения этих двух прямых, решив систему уравнений:
\[
\begin{cases}
y = -\frac{1}{2}x - 1 \\
y = -2x + 4
\end{cases}
\]

Решая эту систему, получим:
\[
\begin{cases}
-\frac{1}{2}x - 1 = -2x + 4 \\
\frac{1}{2}x = 5 \\
x = 10 \\
y = -2(10) + 4 = -16
\end{cases}
\]

Таким образом, точка пересечения прямых АВ и перпендикуляра имеет координаты (10, -16), что является основанием высоты ВН.

Теперь найдем длину высоты ВН, которая является расстоянием от точки С до основания высоты.

Используем формулу для нахождения расстояния между двумя точками:
\(d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\), где \(x_1\) и \(y_1\) - координаты точки С, \(x_2\) и \(y_2\) - координаты основания высоты (10, -16).

Подставим значения:
\(x_1 = 1\)
\(y_1 = 2\)
\(x_2 = 10\)
\(y_2 = -16\)

Тогда длина высоты ВН будет равна:
\(d = \sqrt{{(10 - 1)^2 + ((-16) - 2)^2}}\)
\(d = \sqrt{{81 + 196}}\)
\(d = \sqrt{{277}}\)

Таким образом, длина высоты ВН в треугольнике АВС равна \(\sqrt{{277}}\).

Чтобы выполнить чертеж, вам необходимы инструменты для рисования, такие как линейка, карандаш и бумага. Точки А, В и С на плоскости можно отметить с использованием их координат и масштаба. Например, вы можете выбрать масштаб, где каждая единица по горизонтальной оси будет соответствовать 2 единицам, а каждая единица по вертикальной оси будет соответствовать 2 единицам. Затем проведите линии для сторон треугольника и отметьте точку М на стороне АВ, точку пересечения медиан, и высоту ВН, которая проходит через точку С и основание высоты, найденное ранее.