а) Какие функции являются первообразными для f(x)=3sin x? б) Найдите первообразную функции f(x)=3sin x, график которой

Для задачи а) нам нужно найти все функции \( F(x) \), которые являются первообразными для функции \( f(x) = 3\sin x \).

Для начала, давайте вспомним, что первообразная функция (или антипроизводная) для данной функции \( f(x) \) - это такая функция \( F(x) \), производная которой равна данной функции \( f(x) \).

Для функции \( f(x) = 3\sin x \) мы знаем, что производная от синуса есть косинус. Таким образом, чтобы найти первообразную для \( f(x) \), мы должны найти функцию \( F(x) \), производная которой равна \( f(x) \).

Используя это знание, мы строим таблицу производных для основных функций:

\[
\begin{{align*}}
f(x) & = 3\sin x & \Rightarrow & F(x) = -3\cos x + C_1 \\
f(x) & = 3\cos x & \Rightarrow & F(x) = 3\sin x + C_2 \\
f(x) & = x^n & \Rightarrow & F(x) = \frac{{x^{n+1}}}{{n+1}} + C_3 \\
f(x) & = e^x & \Rightarrow & F(x) = e^x + C_4 \\
f(x) & = \ln(x) & \Rightarrow & F(x) = x\ln(x) - x + C_5 \\
\end{{align*}}
\]

Где \( C_1, C_2, C_3, C_4, C_5 \) - произвольные постоянные.

Таким образом, первообразными для функции \( f(x) = 3\sin x \) будут функции:

\[
F(x) = -3\cos x + C_1 \quad \text{и} \quad F(x) = 3\sin x + C_2
\]

Перейдем теперь к задаче б).

Для задачи б) нам требуется найти первообразную функции \( f(x) = 3\sin x \), график которой проходит через точку \( M(\frac{\pi}{2}, 0) \).

Используя информацию, что первообразная функция \( F(x) \) связана с функцией\( f(x) \), мы можем найти конкретное решение для этой задачи.

Первообразная функция для \( f(x) = 3\sin x \) является \( F(x) = -3\cos x \).

Чтобы найти конкретное решение, мы должны подставить данную точку \( M(\frac{\pi}{2}, 0) \) в функцию \( F(x) \) и решить уравнение:

\[
F(\frac{\pi}{2}) = -3\cos(\frac{\pi}{2}) = 0 + C
\]

Отсюда мы находим значение постоянной \( C \), которое равно нулю. Таким образом, первообразная функции \( f(x) = 3\sin x \), проходящая через точку \( M(\frac{\pi}{2}, 0) \), имеет вид:

\[
F(x) = -3\cos x
\]

Пожалуйста, оставайтесь на связи, если у вас есть еще вопросы.