a) Как следует из основного тригонометрического тождества, sin^2 A = 1 - cos^2 A. б) Согласно основному

A) Давайте начнем с рассмотрения основного тригонометрического тождества: \(\sin^2 A = 1 - \cos^2 A\). Это тождество является одним из фундаментальных соотношений тригонометрии.

Теперь посмотрим, как мы можем обосновать это тождество. Для этого воспользуемся Пифагоровой теоремой, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Возьмем прямоугольный треугольник с углом А. Пусть гипотенуза треугольника равна 1, а катет, прилегающий к углу А, равен \(\cos A\). Обозначим другой катет через \(\sin A\). Тогда, применяя Пифагорову теорему, получим:

\(\sin^2 A + \cos^2 A = 1\)

Отсюда следует, что \(\sin^2 A = 1 - \cos^2 A\), что и является основным тригонометрическим тождеством.

Б) Теперь докажем, что \(\cos^2 A = \sin^2 A - 1\), используя основное тригонометрическое тождество из предыдущего шага.

Имеем: \(\sin^2 A = 1 - \cos^2 A\)

Перенесем \(\cos^2 A\) на одну сторону уравнения: \(\sin^2 A + \cos^2 A = 1\)

Применяемслева: \(\cos^2 A = \sin^2 A - 1\)

В итоге, мы получаем то, что было требуемо доказать.

В) Теперь рассмотрим утверждение, что \(\sin A = 1 - \cos A\) является частью основного тригонометрического тождества.

Чтобы доказать это, воспользуемся определением \(\sin A\) и \(\cos A\) через отношения сторон прямоугольного треугольника.

Пусть противолежащий катет равен 1, прилегающий катет равен \(\cos A\), а гипотенуза равна \(\sin A\).

Тогда по определению, \(\sin A = \frac{{\text{{противолежащий катет}}}}{{\text{{гипотенуза}}}} = \frac{1}{{\sin A}}\).

Аналогично, \(\cos A = \frac{{\text{{прилегающий катет}}}}{{\text{{гипотенуза}}}} = \frac{{\cos A}}{{1}}\).

Теперь подставим это в основное тригонометрическое тождество:

\(\frac{1}{{\sin A}} = 1 - \frac{{\cos A}}{{1}}\).

Умножим обе стороны уравнения на \(\sin A\) и преобразуем:

\(1 = \sin A - \cos A\).

Таким образом, мы доказали утверждение, что \(\sin A = 1 - \cos A\) является частью основного тригонометрического тождества.

Г) В последнем утверждении нет полного выражения, поэтому необходимо продолжение, чтобы быть полностью объективными. Если продолжение утверждения предлагает, что \(\sin^2 A - \cos^2 A = 1\), то оно является неправильным и противоречит основному тригонометрическому тождеству. В правильной форме этого тождества положительный знак перед \(\cos^2 A\) меняется на отрицательный знак.

Таким образом, мы проанализировали все варианты утверждений, связанных с основным тригонометрическим тождеством, и обосновали их.