а) Докажите, что точка P делит высоту EH в отношении 3:1, считая от вершины. б) Найдите отношение объемов двух частей

Давайте решим задачу по порядку.

а) Для начала, нужно понять, что значит "точка P делит высоту EH в отношении 3:1, считая от вершины". Это означает, что отрезок PH составляет 3 единицы, а отрезок PE составляет 1 единицу по отношению к высоте EH. Для доказательства этого факта, мы можем воспользоваться свойством подобных треугольников.

Рассмотрим треугольник APE и треугольник BPH. Они подобны, так как угол APE и угол BPH являются прямыми углами (так как PH и PE - высоты треугольников), а также уголы AEP и BHP равны, так как они являются соответственными углами треугольников. Таким образом, треугольники APE и BPH подобны по признаку АА (угол-угол).

Теперь, обратимся к отношению сторон. Мы знаем, что PE:PH = 1:3. По свойствам подобных треугольников, соответствующие стороны треугольников APE и BPH тоже имеют отношение 1:3. Таким образом, мы можем сделать вывод, что отношение длин отрезка PH к отрезку EH равно 1:3, что и требовалось доказать.

б) Для решения этой части задачи, нам нужно учесть особенности плоскости MNK, которая делит пирамиду ABCDE. Обозначим объемы двух частей, на которые плоскость делит пирамиду, через V1 и V2.

Известно, что объемы двух частей, образованных плоскостью MNK, равны между собой. Значит, V1 = V2.

Теперь, мы можем воспользоваться формулой для объема пирамиды, которая равна:
\[V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{основания}} \cdot h,\]
где V - объем пирамиды, S_{\text{основания}} - площадь основания пирамиды, h - высота пирамиды.

Обозначим площадь основания, принадлежащего одной из частей, через S1, а площадь основания, принадлежащего второй части, через S2.

Таким образом, у нас получается следующая система уравнений:
\[\frac{1}{3} \cdot S_1 \cdot h = V_1,\]
\[\frac{1}{3} \cdot S_2 \cdot h = V_2.\]

Учитывая, что V1 = V2, можно записать:
\[\frac{1}{3} \cdot S_1 \cdot h = \frac{1}{3} \cdot S_2 \cdot h.\]

Заметим, что h в обеих частях уравнения одинаковое, следовательно, оно может быть сокращено. Получаем:
\[S_1 = S_2.\]

Таким образом, площади оснований двух частей, на которые плоскость MNK делит пирамиду ABCDE, равны между собой.

Отношение объемов двух частей равно отношению площадей оснований:

\[\frac{V_1}{V_2} = \frac{S_1}{S_2} = 1:1.\]

Итак, отношение объемов двух частей, на которые плоскость MNK делит пирамиду ABCDE, равно 1:1.