a) Чтобы авторы получили доход не менее чем от записи собственных аудиокниг, какое наименьшее количество прослушиваний

Хорошо, давайте начнем с задачи (a): чтобы авторы получили доход не менее, чем от записи собственных аудиокниг, необходимо определить наименьшее количество прослушиваний, при котором гонорар будет равномерно распределен между авторами. Для этого нужно рассмотреть условия задачи более подробно и использовать алгебру.

Пусть \(x\) - количество прослушиваний совместной аудиокниги.
Так как гонорар равномерно распределяется между авторами, каждый автор получит \( \frac{1}{2} \) от общего дохода.
Таким образом, доход каждого автора от совместной аудиокниги будет составлять \( \frac{1}{2}x \).

Согласно условию задачи, этот доход должен быть не менее, чем доход от записи собственных аудиокниг.
Обозначим доход от собственной аудиокниги первого автора как \( y_1 \), а доход от собственной аудиокниги второго автора как \( y_2 \).

Таким образом, нам необходимо найти наименьшее значение \( x \), при котором выполняется следующее неравенство:

\[ \frac{1}{2}x \geq y_1 \]
\[ \frac{1}{2}x \geq y_2 \]

Для этого предположим, что доходы от собственных аудиокниг одинаковые. То есть \( y_1 = y_2 = y \).

Теперь объединим два неравенства:

\[ \frac{1}{2}x \geq y \]
\[ \frac{1}{2}x \geq y \]

Эти два неравенства можно упростить, умножив каждое из них на 2:

\[ x \geq 2y \]
\[ x \geq 2y \]

Поскольку требуется наименьшее значение \( x \), необходимое для выполнения обоих неравенств, мы должны выбрать большее значение из \( 2y \) и \( 2y \), то есть \( 2y \).

Таким образом, наименьшее количество прослушиваний совместной аудиокниги, которое гарантирует авторам равный или больший доход, чем от собственных аудиокниг, равно \( x = 2y \). Это минимальное значение, при котором оба автора будут иметь равные или большие доходы, чем от собственных аудиокниг.

Теперь перейдем к задаче (b): чтобы оба автора получили доход, не меньший, чем от собственных аудиокниг, нужно определить минимальное количество прослушиваний для совместной аудиокниги.

Пусть \( a \) - доход от собственной аудиокниги первого автора и \( b \) - доход от собственной аудиокниги второго автора.

Так как оба автора должны получить доход, не меньший, чем от собственных аудиокниг, нам нужно найти такое значение \( x \), при котором выполняются следующие неравенства:

\[ \frac{1}{2}x \geq a \]
\[ \frac{1}{2}x \geq b \]

Аналогично предыдущей задаче, мы предположим, что доходы от собственных аудиокниг одинаковые, то есть \( a = b = y \).

Объединим два неравенства:

\[ \frac{1}{2}x \geq y \]
\[ \frac{1}{2}x \geq y \]

Умножим оба неравенства на 2:

\[ x \geq 2y \]
\[ x \geq 2y \]

Так как оба автора должны получить доход, не меньший, чем от собственных аудиокниг, наименьшее значение \( x \) можно определить как максимальное из \( 2y \) и \( 2y \), то есть \( x = 2y \).

Таким образом, минимальное количество прослушиваний совместной аудиокниги, которое обеспечивает обоим авторам доход не меньший, чем от собственных аудиокниг, равно \( x = 2y \).

Я надеюсь, что эти объяснения помогли вам понять решение задачи! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать их.