8. Ізвестно, що вершини трикутника розташовані у точках а(-2; -1), b(3; 1), с (1; 5). 1) Який вид кута а трикутника

Для решения этой задачи, давайте начнем с первого вопроса.

1) Чтобы определить вид угла а в треугольнике ABC, нам необходимо найти значения углов треугольника. Мы можем найти углы, используя формулу для нахождения угла между двумя векторами.

Для начала, найдем векторы AB и AC.

Вектор AB:
\[\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 3 - (-2) \\ 1 - (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}\]

Вектор AC:
\[\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 1 - (-2) \\ 5 - (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix}\]

Теперь мы можем использовать формулу для нахождения угла между двумя векторами:

\[\cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{\|\overrightarrow{AB}\| \cdot \|\overrightarrow{AC}\|}\]

Где \(\cdot\) обозначает скалярное произведение, а \(\|\overrightarrow{AB}\|\) и \(\|\overrightarrow{AC}\|\) обозначают длины векторов AB и AC соответственно.

Подставим значения в эту формулу:

\[\cos(\theta) = \frac{\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix}}{\sqrt{5^2 + 2^2} \cdot \sqrt{3^2 + 6^2}}\]

\[\cos(\theta) = \frac{27}{\sqrt{29} \cdot \sqrt{45}}\]

Теперь, чтобы найти вид угла а, мы должны определить, является ли этот угол остроугольным, прямым или тупым. Для этого нужно рассмотреть значение косинуса угла.

Если косинус угла больше 0, то угол является остроугольным (0 < θ < 90 градусов). Если косинус угла равен 0, то угол является прямым (θ = 90 градусов). Если косинус угла меньше 0, то угол является тупым (90 < θ < 180 градусов).

Вычислим значение косинуса:

\[\cos(\theta) \approx 0.492\]

Таким образом, угол а треугольника ABC является остроугольным.

Теперь перейдем ко второму вопросу.

2) Мы должны найти модуль вектора D, если известно, что \(\overrightarrow{AD} = 2 \cdot \overrightarrow{BC}\).

Найдем вначале вектор BC:

\[\overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix} 1 - 3 \\ 5 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix}\]

Теперь, зная, что \(\overrightarrow{AD} = 2 \cdot \overrightarrow{BC}\), мы можем найти вектор D:

\(\overrightarrow{AD} = \begin{pmatrix} D_x - (-2) \\ D_y - (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} D_x + 2 \\ D_y + 1 \end{pmatrix}\)

Так как \(\overrightarrow{AD} = 2 \cdot \overrightarrow{BC} = 2 \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 8 \end{pmatrix}\), мы можем записать:

\[\begin{pmatrix} D_x + 2 \\ D_y + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 8 \end{pmatrix}\]

Отсюда получаем систему уравнений:

\[
\begin{cases}
D_x + 2 = -4 \\
D_y + 1 = 8
\end{cases}
\]

Решая эту систему, мы находим значение вектора D:

\[
\begin{cases}
D_x = -6 \\
D_y = 7
\end{cases}
\]

Таким образом, вектор D имеет координаты (-6, 7).

Теперь, чтобы найти модуль вектора D, мы можем использовать формулу для вычисления длины вектора по его компонентам:

\[\|\overrightarrow{D}\| = \sqrt{D_x^2 + D_y^2} = \sqrt{(-6)^2 + 7^2} \approx 9.22\]

Таким образом, модуль вектора D примерно равен 9.22.

Я надеюсь, что эти пошаговые решения помогут вам лучше понять данную задачу. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь спрашивать!