7) Які відстані від площини перетину до кінців відрізка, який не перетинає її, дорівнюють 3 см і 11 см, а проекція

7) Для розв"язання цієї задачі, ми використовуємо теорему про перпендикулярність площин і прямих.

Означимо наші дані:
Відстань від площини перетину до кінців відрізка, який не перетинає її, дорівнює 3 см і 11 см.
Проекція відрізка на площину дорівнює 15 см.

Позначимо довжину відрізка, яку нам потрібно знайти, як "х".

За теоремою про перпендикулярність, проекція відрізка на площину є висотою трикутника, утвореного проекцією відрізка і двома прямими, що задають його кінці.

Ми можемо обчислити площу трикутника за формулою \(S = \frac{1}{2} \times а \times b\), де "а" і "b" - це довжини прямих, які задають трикутник.

Задачу тепер можна записати наступним чином:
\(\frac{1}{2} \times 3 \times х + \frac{1}{2} \times 11 \times х = 15\)
\(\frac{3}{2}x + \frac{11}{2}x = 15\)
\(7x = 15\)
\(x = \frac{15}{7} \approx 2.14\)

Таким чином, довжина відрізка дорівнює приблизно 2.14 см.

8) Щоб розв"язати цю задачу, ми також використовуємо теорему про перпендикулярність площин і прямих.

Дані:
Проекції двох похилих на площину дорівнюють 15 см і 6 см.
Їх довжини відносяться як 17:10.

Позначимо відстань від точки до площини, яку ми шукаємо, як "х".

За теоремою про перпендикулярність, проекція похилої на площину є висотою трикутника, утвореного проекцією похилої і прямою, що задає точку.

Ми можемо визначити відношення довжини висоти трикутника до довжини похилої, використовуючи умову задачі: \(\frac{15}{6} = \frac{17}{10}\)

Тепер ми можемо визначити, наскільки відстань від точки до площини стосується висоті трикутника: \(\frac{17}{10} = \frac{х}{15}\)

За допомогою пропорції, ми можемо розв"язати цю рівняння: \(17 \times 15 = 10х\)
\(255 = 10х\)
\(х = \frac{255}{10} = 25.5\)

Таким чином, відстань від точки до площини дорівнює 25.5 см.

9) Для вирішення цієї задачі, ми можемо використовувати теорему Піфагора і теорему про перпендикулярність площин і прямих.

Дані:
Точка K знаходиться на відстані 4 см від кожної вершини правильного трикутника ABC зі стороною 6 см.

Нехай M буде серединним перпендикуляром до сторони AB та точками перетину з AB позначимо D. Оскільки трикутник ABC — правильний, то відрізок MD є серединним перпендикуляром до сторони AB та півколом радіусом 1 см з центром у точці D.

Тепер у нас є прямокутний трикутник ABM, де AM і MB дорівнюють 3 см, а AB дорівнює 6 см.

Застосовуючи теорему Піфагора, ми можемо обчислити довжину сторони BM:

\[BM^2 = AB^2 - AM^2 = 6^2 - 3^2 = 36 - 9 = 27\]
\[BM = \sqrt{27} \approx 5.2 \, \text{см}\]

Таким чином, відстань від точки K до площини ABC дорівнює приблизно 5.2 см.