7) Які відстані від площини перетину до кінців відрізка, який не перетинає її, дорівнюють 3 см і 11 см, а проекція

7) Для розв"язання цієї задачі, ми використовуємо теорему про перпендикулярність площин і прямих.

Означимо наші дані:
Відстань від площини перетину до кінців відрізка, який не перетинає її, дорівнює 3 см і 11 см.
Проекція відрізка на площину дорівнює 15 см.

Позначимо довжину відрізка, яку нам потрібно знайти, як "х".

За теоремою про перпендикулярність, проекція відрізка на площину є висотою трикутника, утвореного проекцією відрізка і двома прямими, що задають його кінці.

Ми можемо обчислити площу трикутника за формулою $S=\frac{1}{2}\times а\times b$, де "а" і "b" - це довжини прямих, які задають трикутник.

Задачу тепер можна записати наступним чином:
$\frac{1}{2}\times 3\times х+\frac{1}{2}\times 11\times х=15$
$\frac{3}{2}x+\frac{11}{2}x=15$
$7x=15$
$x=\frac{15}{7}\approx 2.14$

Таким чином, довжина відрізка дорівнює приблизно 2.14 см.

8) Щоб розв"язати цю задачу, ми також використовуємо теорему про перпендикулярність площин і прямих.

Дані:
Проекції двох похилих на площину дорівнюють 15 см і 6 см.
Їх довжини відносяться як 17:10.

Позначимо відстань від точки до площини, яку ми шукаємо, як "х".

За теоремою про перпендикулярність, проекція похилої на площину є висотою трикутника, утвореного проекцією похилої і прямою, що задає точку.

Ми можемо визначити відношення довжини висоти трикутника до довжини похилої, використовуючи умову задачі: $\frac{15}{6}=\frac{17}{10}$

Тепер ми можемо визначити, наскільки відстань від точки до площини стосується висоті трикутника: $\frac{17}{10}=\frac{х}{15}$

За допомогою пропорції, ми можемо розв"язати цю рівняння: $17\times 15=10х$
$255=10х$
$х=\frac{255}{10}=25.5$

Таким чином, відстань від точки до площини дорівнює 25.5 см.

9) Для вирішення цієї задачі, ми можемо використовувати теорему Піфагора і теорему про перпендикулярність площин і прямих.

Дані:
Точка K знаходиться на відстані 4 см від кожної вершини правильного трикутника ABC зі стороною 6 см.

Нехай M буде серединним перпендикуляром до сторони AB та точками перетину з AB позначимо D. Оскільки трикутник ABC — правильний, то відрізок MD є серединним перпендикуляром до сторони AB та півколом радіусом 1 см з центром у точці D.

Тепер у нас є прямокутний трикутник ABM, де AM і MB дорівнюють 3 см, а AB дорівнює 6 см.

Застосовуючи теорему Піфагора, ми можемо обчислити довжину сторони BM:

$$B{M}^2=A{B}^2-A{M}^2=6^2-3^2=36-9=27$$
$$BM=\sqrt{27}\approx 5.2\text{см}$$

Таким чином, відстань від точки K до площини ABC дорівнює приблизно 5.2 см.