1) Найдите длину BC в трапеции ABCD, где ∠A = 90°, CP ⊥ AD, NK ⊥ AD, KD = 10, AD = 36. 2) Найдите длину BD в трапеции

Давайте рассмотрим каждую задачу по очереди:

1) Чтобы найти длину отрезка BC в трапеции ABCD, нам понадобится использовать свойство подобных треугольников. Рассмотрим прямоугольный треугольник ADP, где ∠DAP = 90°. Так как AD = 36, а KD = 10, то DP = AD - KD = 36 - 10 = 26. Кроме того, ∠AKP = 90°, поскольку KP ⊥ AD. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BCK, где AB || CK. Относясь к треугольникам ADP и BCK, мы можем написать пропорцию:

\(\frac{DP}{KP} = \frac{BC}{CK}\)

Подставим значения DP = 26, KP = 10, BC = ?, CK = ? в пропорцию:

\(\frac{26}{10} = \frac{BC}{CK}\)

Домножим обе части на 10, чтобы избавиться от дроби:

\(26 \cdot CK = 10 \cdot BC\)

Теперь заметим, что CK = AD = 36 и решим уравнение:

\(26 \cdot 36 = 10 \cdot BC\)

\(BC = \frac{26 \cdot 36}{10}\)

\(BC = 93.6\)

Таким образом, длина отрезка BC в трапеции ABCD равна 93.6.

2) Чтобы найти длину отрезка BD в трапеции ABCD, мы будем использовать свойство параллельных отрезков. Так как MN || AD и BC, BP = 13, то мы можем заметить, что треугольники ABP и NMD подобны по соответственным углам. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABP, где ∠APB = 90°. Так как BP = 13 и AM = MB = 8, то AP = AM + MP = 8 + 13 = 21. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник NMD, где ∠DNM = 90°. Так как MN || AD, то ND = AD = 36. Относясь к треугольникам ABP и NMD, мы можем написать пропорцию:

\(\frac{AB}{NM} = \frac{AP}{ND}\)

Подставим значения AB = ?, NM = ?, AP = 21, ND = 36 в пропорцию:

\(\frac{AB}{NM} = \frac{21}{36}\)

Теперь, чтобы найти AB, умножим обе части пропорции на NM:

\(AB = NM \cdot \frac{21}{36}\)

Кроме того, мы знаем, что BC = BP + PC = 13 + PC. Обратимся к треугольникам BPC и AMN, которые параллельны и подобны:

\(\frac{BP}{AM} = \frac{PC}{NM}\)

Подставим значения BP = 13, AM = 8, PC = ?, NM = ? в пропорцию:

\(\frac{13}{8} = \frac{PC}{NM}\)

Теперь, чтобы найти PC, умножим обе части пропорции на NM:

\(PC = NM \cdot \frac{13}{8}\)

Используя полученное значение PC и факт, что BC = 13 + PC, мы можем выразить BC через NM:

\(BC = 13 + PC = 13 + NM \cdot \frac{13}{8} = 13 \left(1 + \frac{NM}{8}\right)\)

Имея выражение для BC через NM, мы можем подставить в него значение AB и решить уравнение:

\(AB = NM \cdot \frac{21}{36}\)

\(BC = 13 \left(1 + \frac{NM}{8}\right)\)

\(AB + BC = 36\)

Подставим значение AB = NM \(\cdot\) \(\frac{21}{36}\) в третье уравнение:

\(NM \cdot \frac{21}{36} + 13 \left(1 + \frac{NM}{8}\right) = 36\)

Домножим обе части уравнения на 36, чтобы избавиться от дробей:

\(21 \cdot NM + 36 \cdot 13 + 36 \cdot 3 \cdot NM = 36 \cdot 36\)

Упростим уравнение:

\(21 \cdot NM + 36 \cdot 13 + 36 \cdot 3 \cdot NM = 36 \cdot 36\)

Возьмем NM как общий множитель:

\(NM \cdot \left(21 + 36 \cdot 3\right) = 36 \cdot 36 - 36 \cdot 13\)

Упростим выражение:

\(NM \cdot 144 = 36 \cdot \left(36 - 13\right)\)

Теперь решим уравнение:

\(NM = \frac{36 \cdot \left(36 - 13\right)}{144}\)

\(NM = 7.875\)

Наконец, подставим полученное значение NM в выражения для AB и BC:

\(AB = 7.875 \cdot \frac{21}{36}\)

\(BC = 13 \left(1 + \frac{7.875}{8}\right)\)

Таким образом, длина отрезка BD в трапеции ABCD равна \(AB + BC\).