7) Какая прямая является пересечением плоскостей АВЕ и BCD? 8) Какая точка из данных точек не может лежать на прямой?

Чтобы определить, какая прямая является пересечением плоскостей АВЕ и BCD, нам нужно знать уравнения данных плоскостей. Уравнение плоскости может быть записано в виде Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, C и D - это некоторые константы, а x, y и z - координаты точки на плоскости.

Предположим, что у нас есть следующие уравнения плоскостей:
Плоскость АВЕ: 2x + 3y - z + 4 = 0
Плоскость BCD: -x + 2y + 5z - 1 = 0

Для того чтобы найти прямую, которая является пересечением этих плоскостей, мы можем воспользоваться методом решения системы линейных уравнений. Этот метод позволяет нам найти точку, в которой прямая пересекает эти плоскости, а затем определить направление прямой.

Шаг 1: Запишем уравнения плоскостей в матричной форме.
Плоскость АВЕ: \[2x + 3y - z = -4\]
Плоскость BCD: \[-x + 2y + 5z = 1\]

Шаг 2: Используем метод Гаусса или метод Крамера, чтобы решить эту систему уравнений и найти значения переменных x, y и z. Я воспользуюсь методом Крамера для решения этой системы.

Шаг 3: Найдем определитель основной матрицы системы.
Определитель основной матрицы будет равен:
\[\Delta = \begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 \\ -1 & 2 & 5 \end{vmatrix} = (2 \cdot 2 \cdot (-1)) + (3 \cdot 5 \cdot (-1)) + ((-1) \cdot (-1) \cdot 2) = -4 + (-15) + 2 = -17\]

Шаг 4: Найдем определители матриц, в которых заменяем столбцы коэффициентов перед переменными на столбец свободных членов.

Определитель для x будет равен:
\[\Delta_x = \begin{vmatrix} -4 & 3 & -1 \\ 1 & 2 & 5 \end{vmatrix} = ((-4) \cdot 2 \cdot (-1)) + (3 \cdot 5 \cdot 1) + ((-1) \cdot 1 \cdot 2) = -8 + 15 - 2 = 5\]

Определитель для y будет равен:
\[\Delta_y = \begin{vmatrix} 2 & -4 & -1 \\ -1 & 1 & 5 \end{vmatrix} = (2 \cdot 1 \cdot (-1)) + ((-4) \cdot 5 \cdot (-1)) + ((-1) \cdot (-1) \cdot 2) = -2 + 20 - 2 = 16\]

Определитель для z будет равен:
\[\Delta_z = \begin{vmatrix} 2 & 3 & -4 \\ -1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = (2 \cdot 2 \cdot 1) + (3 \cdot 1 \cdot (-1)) + ((-4) \cdot (-1) \cdot (-1)) = 4 - 3 + 4 = 5\]

Шаг 5: Найдем значения переменных x, y и z, деля определители для x, y и z на определитель основной матрицы.
\[x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{5}{-17} = -\frac{5}{17}\]
\[y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{16}{-17} = -\frac{16}{17}\]
\[z = \frac{\Delta_z}{\Delta} = \frac{5}{-17} = -\frac{5}{17}\]

Шаг 6: Теперь, когда мы знаем значения x, y и z, мы можем записать параметрические уравнения для прямой, которая пересекает плоскости АВЕ и BCD.

\[x = -\frac{5}{17}t\]
\[y = -\frac{16}{17}t\]
\[z = -\frac{5}{17}t\]

Таким образом, пересечение плоскостей АВЕ и BCD представлено параметрическими уравнениями прямой.

Для задачи №8: Чтобы определить, какая точка из данных точек не может лежать на данной прямой, мы можем подставить координаты этих точек в параметрические уравнения прямой и проверить, выполняются ли они. Если для какой-то точки получается неравенство, то эта точка не лежит на прямой.

Предположим, что данные точки имеют координаты (-1, 2, 3), (0, 0, 0) и (1, 1, 1). Подставим эти значения в параметрическое уравнение прямой:

Для точки (-1, 2, 3):
\[-\frac{5}{17}(-1) = \frac{5}{17} \neq -1\]
\[-\frac{16}{17}(2) = -\frac{32}{17} \neq 2\]
\[-\frac{5}{17}(3) = -\frac{15}{17} \neq 3\]

Для точки (0, 0, 0):
\[-\frac{5}{17}(0) = 0 = 0\]
\[-\frac{16}{17}(0) = 0 = 0\]
\[-\frac{5}{17}(0) = 0 = 0\]

Для точки (1, 1, 1):
\[-\frac{5}{17}(1) = -\frac{5}{17} \neq 1\]
\[-\frac{16}{17}(1) = -\frac{16}{17} \neq 1\]
\[-\frac{5}{17}(1) = -\frac{5}{17} \neq 1\]

Таким образом, ни одна из данных точек не лежит на данной прямой.