7.11. Переформулируйте следующие вопросы: 1) Каким образом можно записать выражение 125(5a 3b3)-2 а-2b4 в виде степени

1) Как можно записать выражение $$125(5a^3{b}^3{)}^{-2}{a}^{-2}{b}^4$$ в виде степени и каково его значение при $a=0.2$ и $b=0.5$?

Решение:
Для того чтобы записать данное выражение в виде степени, мы можем воспользоваться следующими свойствами алгебры:

1. $(ab{)}^n=a^n\cdot b^n$ - свойство степеней аналогично перемножению.

Применим данное свойство к выражению в скобках:
$$125(5a^3{b}^3{)}^{-2}=125\cdot (5^{-2})\cdot (a^3{)}^{-2}\cdot (b^3{)}^{-2}$$

2. $(a^n{)}^m=a^{nm}$ - свойство степеней аналогично возведению в степень.

Применим данное свойство к $a$ и $b$:
$$(a^3{)}^{-2}=a^{3\cdot -2}=a^{-6}$$
$$(b^3{)}^{-2}=b^{3\cdot -2}=b^{-6}$$

Теперь у нас получилось следующее выражение:
$$125\cdot (5^{-2})\cdot a^{-6}\cdot b^{-6}\cdot a^{-2}\cdot b^4$$

С использованием свойства $(ab{)}^n=a^n\cdot b^n$, можно перемножить все числовые и буквенные множители:
$$125\cdot \frac{1}{5^2}\cdot a^{-6-2}\cdot b^{-6+4}$$

Получаем:
$$125\cdot \frac{1}{25}\cdot a^{-8}\cdot b^{-2}$$

Упрощаем:
$$\frac{125}{25}\cdot a^{-8}\cdot b^{-2}=5\cdot a^{-8}\cdot b^{-2}$$

Теперь можно записать выражение в виде степени:
$$5(a^{-8}{b}^{-2})$$

Подставим значения $a=0.2$ и $b=0.5$:
$$5({0.2}^{-8}\cdot {0.5}^{-2})$$

Вычисляем:
$$5(\frac{1}{{0.2}^8}\cdot \frac{1}{{0.5}^2})=5\cdot \frac{1}{0.000000000026}\cdot \frac{1}{0.25}$$

Сокращаем:
$$5\cdot 38461538461.53846153846\approx 192307692307.69230769231$$

Таким образом, значение выражения при $a=0.2$ и $b=0.5$ составляет приблизительно 192307692307.69230769231.

2) Как можно упростить выражение $\frac{(0.5a^2{)}^{-2}}{32a{b}^{?}}$ при $a=0.5$ и $b=0.25$?

Решение:
Для упрощения данного выражения, мы можем применить следующие свойства алгебры:

1. $(a^n{)}^m=a^{nm}$ - свойство степеней аналогично возведению в степень.

Применим данное свойство к $0.5a^2$:
$(0.5a^2{)}^{-2}=({0.5}^{-2})\cdot (a^2{)}^{-2}=4\cdot a^{-4}$

Теперь у нас получилось следующее выражение:
$\frac{4a^{-4}}{32a{b}^{?}}$

2. $\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$ - свойство степеней аналогично делению.

Применим данное свойство к $a^{-4}$:
$\frac{4a^{-4}}{32a{b}^{?}}=4\cdot a^{-4-1}\cdot \frac{1}{32b^{?}}=4a^{-5}\cdot \frac{1}{32b^{?}}$

Упростим числовое значение:
$4\cdot \frac{1}{32}=\frac{1}{8}$

Итак, мы получаем:
$\frac{1}{8}{a}^{-5}{b}^{-?}$

Подставим значения $a=0.5$ и $b=0.25$:
$\frac{1}{8}\cdot (0.5{)}^{-5}\cdot (0.25{)}^{-?}$

Вычислим:
$\frac{1}{8}\cdot 32\cdot (0.25{)}^{-?}$

Таким образом, выражение сокращается до $\frac{32}{8}\cdot (0.25{)}^{-?}$.

3) Как переписать выражение $\sqrt[3]{23a^{3}b}\cdot 64a^4÷(ab)$ в виде степени и каково его значение при $a=-0.125$ и $b=0.5$?

Решение:
Для переписывания данного выражения в виде степени, мы можем воспользоваться следующими свойствами:

1. $(a\cdot b{)}^n=a^n\cdot b^n$ - свойство степеней аналогично перемножению.

Применим данное свойство к $\sqrt[3]{23a^{3}b}\cdot 64a^4$:
$(23a^{3}b{)}^{\frac{1}{3}}\cdot 64a^4={23}^{\frac{1}{3}}\cdot a^{\frac{3}{3}}\cdot b^{\frac{1}{3}}\cdot 64a^4$

Сокращаем дроби:
$\sqrt[3]{23}\cdot a\cdot \sqrt[3]{b}\cdot 64a^4$

2. $a^n÷a^m=a^{n-m}$ - свойство степеней аналогично делению.

Применяем данное свойство к $\sqrt[3]{23}\cdot a\cdot \sqrt[3]{b}\cdot 64a^4÷(ab)$:
$\sqrt[3]{23}\cdot a\cdot \sqrt[3]{b}\cdot 64a^4÷(ab)=\sqrt[3]{23}\cdot a\cdot \sqrt[3]{b}\cdot 64a^{4-1}\cdot b^{-1}$

Сокращаем:
$\sqrt[3]{23}\cdot a\cdot \sqrt[3]{b}\cdot 64a^3\cdot b^{-1}$

Теперь мы можем переписать данное выражение в виде степени:
$\sqrt[3]{23}\cdot a\cdot \sqrt[3]{b}\cdot 64a^3\cdot b^{-1}={23}^{\frac{1}{3}}\cdot a\cdot b^{\frac{1}{3}}\cdot 64a^3\cdot b^{-1}$

Подставим значения $a=-0.125$ и $b=0.5$:
${23}^{\frac{1}{3}}\cdot (-0.125)\cdot {0.5}^{\frac{1}{3}}\cdot 64(-0.125{)}^3\cdot {0.5}^{-1}$

Вычисляем:
${23}^{\frac{1}{3}}\cdot (-0.125)\cdot {0.5}^{\frac{1}{3}}\cdot -0.03125\cdot 2$

Таким образом, выражение равно ${23}^{\frac{1}{3}}\cdot (-0.03125)\cdot 2\approx -0.599$.

4) Как можно сократить выражение $27(-3{)}^{?}az÷(35a^{-1}{b}^{-2})$ при $a=-0.1$ и $b=0.1$?

Решение:
Для сокращения данного выражения, мы можем применить следующие свойства алгебры:

1. $a^n÷a^m=a^{n-m}$ - свойство степеней аналогично делению.

Применим данное свойство к $az$ и $b^{-2}$:
$az÷b^{-2}=az\cdot b^2$

2. $(a\cdot b{)}^n=a^n\cdot b^n$ - свойство степеней аналогично перемножению.

Применим данное свойство к $(-3{)}^{?}az$ и $a^{-1}$:
$(-3{)}^{?}az÷a^{-1}=(-3{)}^{?}\cdot az\cdot a$

После применения этих свойств, получаем следующее упрощенное выражение:
$27(-3{)}^{?}\cdot az\cdot b^2÷(35a^{-1})$

С учетом отрицательного показателя степени $(-3{)}^{?}$, мы не можем произвести сокращение и дальнейшую упрощение.

Теперь подставим значения $a=-0.1$ и $b=0.1$:
$27(-3{)}^{?}\cdot (-0.1)\cdot (0.1{)}^2÷(35(-0.1{)}^{-1})$

Вычисляем:
$27(-3{)}^{?}\cdot (-0.1)\cdot 0.01÷(35(-0.1{)}^{-1})$

Таким образом, выражение не упрощается и равно $27(-3{)}^{?}\cdot (-0.001)÷(35(-10))$.