7.11. Переформулируйте следующие вопросы: 1) Каким образом можно записать выражение 125(5a 3b3)-2 а-2b4 в виде степени

1) Как можно записать выражение \[125(5a^3b^3)^{-2}a^{-2}b^4\] в виде степени и каково его значение при \(a = 0.2\) и \(b = 0.5\)?

Решение:
Для того чтобы записать данное выражение в виде степени, мы можем воспользоваться следующими свойствами алгебры:

1. \((ab)^n = a^n \cdot b^n\) - свойство степеней аналогично перемножению.

Применим данное свойство к выражению в скобках:
\[125(5a^3b^3)^{-2} = 125 \cdot (5^{-2}) \cdot (a^3)^{-2} \cdot (b^3)^{-2}\]

2. \((a^n)^m = a^{nm}\) - свойство степеней аналогично возведению в степень.

Применим данное свойство к \(a\) и \(b\):
\[(a^3)^{-2} = a^{3 \cdot -2} = a^{-6}\]
\[(b^3)^{-2} = b^{3 \cdot -2} = b^{-6}\]

Теперь у нас получилось следующее выражение:
\[125 \cdot (5^{-2}) \cdot a^{-6} \cdot b^{-6} \cdot a^{-2} \cdot b^4\]

С использованием свойства \((ab)^n = a^n \cdot b^n\), можно перемножить все числовые и буквенные множители:
\[125 \cdot \frac{1}{5^2} \cdot a^{-6-2} \cdot b^{-6+4}\]

Получаем:
\[125 \cdot \frac{1}{25} \cdot a^{-8} \cdot b^{-2}\]

Упрощаем:
\[\frac{125}{25} \cdot a^{-8} \cdot b^{-2} = 5 \cdot a^{-8} \cdot b^{-2}\]

Теперь можно записать выражение в виде степени:
\[5(a^{-8}b^{-2})\]

Подставим значения \(a = 0.2\) и \(b = 0.5\):
\[5(0.2^{-8} \cdot 0.5^{-2})\]

Вычисляем:
\[
5 \left( \frac{1}{0.2^8} \cdot \frac{1}{0.5^2} \right) = 5 \cdot \frac{1}{0.000000000026} \cdot \frac{1}{0.25}
\]

Сокращаем:
\[
5 \cdot 38461538461.53846153846 \approx 192307692307.69230769231
\]

Таким образом, значение выражения при \(a = 0.2\) и \(b = 0.5\) составляет приблизительно 192307692307.69230769231.

2) Как можно упростить выражение \(\frac{(0.5a^2)^{-2}}{32ab^?}\) при \(a = 0.5\) и \(b = 0.25\)?

Решение:
Для упрощения данного выражения, мы можем применить следующие свойства алгебры:

1. \((a^n)^m = a^{nm}\) - свойство степеней аналогично возведению в степень.

Применим данное свойство к \(0.5a^2\):
\((0.5a^2)^{-2} = (0.5^{-2}) \cdot (a^2)^{-2} = 4 \cdot a^{-4}\)

Теперь у нас получилось следующее выражение:
\(\frac{4a^{-4}}{32ab^?}\)

2. \(\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}\) - свойство степеней аналогично делению.

Применим данное свойство к \(a^{-4}\):
\(\frac{4a^{-4}}{32ab^?} = 4 \cdot a^{-4-1} \cdot \frac{1}{32b^?} = 4a^{-5} \cdot \frac{1}{32b^?}\)

Упростим числовое значение:
\(4 \cdot \frac{1}{32} = \frac{1}{8}\)

Итак, мы получаем:
\(\frac{1}{8}a^{-5}b^{-?}\)

Подставим значения \(a = 0.5\) и \(b = 0.25\):
\(\frac{1}{8} \cdot (0.5)^{-5} \cdot (0.25)^{-?}\)

Вычислим:
\(\frac{1}{8} \cdot 32 \cdot (0.25)^{-?}\)

Таким образом, выражение сокращается до \(\frac{32}{8} \cdot (0.25)^{-?}\).

3) Как переписать выражение \(\sqrt[3]{23a^3b} \cdot 64a^4 \div (ab)\) в виде степени и каково его значение при \(a = -0.125\) и \(b = 0.5\)?

Решение:
Для переписывания данного выражения в виде степени, мы можем воспользоваться следующими свойствами:

1. \((a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\) - свойство степеней аналогично перемножению.

Применим данное свойство к \(\sqrt[3]{23a^3b} \cdot 64a^4\):
\((23a^3b)^{\frac{1}{3}} \cdot 64a^4 = 23^{\frac{1}{3}} \cdot a^{\frac{3}{3}} \cdot b^{\frac{1}{3}} \cdot 64a^4\)

Сокращаем дроби:
\(\sqrt[3]{23} \cdot a \cdot \sqrt[3]{b} \cdot 64a^4\)

2. \(a^n \div a^m = a^{n-m}\) - свойство степеней аналогично делению.

Применяем данное свойство к \(\sqrt[3]{23} \cdot a \cdot \sqrt[3]{b} \cdot 64a^4 \div (ab)\):
\(\sqrt[3]{23} \cdot a \cdot \sqrt[3]{b} \cdot 64a^4 \div (ab) = \sqrt[3]{23} \cdot a \cdot \sqrt[3]{b} \cdot 64a^{4-1} \cdot b^{-1}\)

Сокращаем:
\(\sqrt[3]{23} \cdot a \cdot \sqrt[3]{b} \cdot 64a^3 \cdot b^{-1}\)

Теперь мы можем переписать данное выражение в виде степени:
\(\sqrt[3]{23} \cdot a \cdot \sqrt[3]{b} \cdot 64a^3 \cdot b^{-1} = 23^{\frac{1}{3}} \cdot a \cdot b^{\frac{1}{3}} \cdot 64a^3 \cdot b^{-1}\)

Подставим значения \(a = -0.125\) и \(b = 0.5\):
\(23^{\frac{1}{3}} \cdot (-0.125) \cdot 0.5^{\frac{1}{3}} \cdot 64(-0.125)^3 \cdot 0.5^{-1}\)

Вычисляем:
\(23^{\frac{1}{3}} \cdot (-0.125) \cdot 0.5^{\frac{1}{3}} \cdot -0.03125 \cdot 2\)

Таким образом, выражение равно \(23^{\frac{1}{3}} \cdot (-0.03125) \cdot 2 \approx -0.599\).

4) Как можно сократить выражение \(27(-3)^?az \div (35a^{-1}b^{-2})\) при \(a = -0.1\) и \(b = 0.1\)?

Решение:
Для сокращения данного выражения, мы можем применить следующие свойства алгебры:

1. \(a^n \div a^m = a^{n-m}\) - свойство степеней аналогично делению.

Применим данное свойство к \(az\) и \(b^{-2}\):
\(az \div b^{-2} = az \cdot b^{2}\)

2. \((a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\) - свойство степеней аналогично перемножению.

Применим данное свойство к \((-3)^?az\) и \(a^{-1}\):
\((-3)^?az \div a^{-1} = (-3)^? \cdot az \cdot a\)

После применения этих свойств, получаем следующее упрощенное выражение:
\(27(-3)^? \cdot az \cdot b^2 \div (35a^{-1})\)

С учетом отрицательного показателя степени \((-3)^?\), мы не можем произвести сокращение и дальнейшую упрощение.

Теперь подставим значения \(a = -0.1\) и \(b = 0.1\):
\(27(-3)^? \cdot (-0.1) \cdot (0.1)^2 \div (35(-0.1)^{-1})\)

Вычисляем:
\(27(-3)^? \cdot (-0.1) \cdot 0.01 \div (35(-0.1)^{-1})\)

Таким образом, выражение не упрощается и равно \(27(-3)^? \cdot (-0.001) \div (35(-10))\).