65. Найдите следующие характеристики правильной четырехугольной пирамиды SABCD, где каждое ребро равно 9

Данная задача относится к геометрии и требует вычислений и анализа свойств правильной четырехугольной пирамиды. Давайте пошагово решим ее:

а) Для нахождения величины плоского угла пирамиды при ее вершине S нам потребуется рассмотреть боковое ребро пирамиды SABCD. Это ребро является диагональю боковой грани пирамиды, которая является квадратом.

Диагональ квадрата делит его внутренний угол на два равных угла. Таким образом, плоский угол пирамиды при ее вершине S будет равен половине внутреннего угла квадрата.

Внутренний угол квадрата равен 90 градусов (так как он является прямым углом), следовательно, плоский угол пирамиды при ее вершине S будет равен половине этого значения.

Таким образом, плоский угол пирамиды при ее вершине S равен \(90/2 = 45\) градусов.

б) Для нахождения величины угла, под которым боковое ребро наклонено к плоскости основания, нам потребуется рассмотреть боковое ребро пирамиды SABCD и плоскость, содержащую основание ABCD.

Боковое ребро пирамиды SABCD и плоскость основания ABCD образуют плоский угол, который мы хотим найти. Для этого нам нужно найти наклон этого угла относительно плоскости основания.

Поскольку пирамида является правильной и боковые грани являются равнобедренными треугольниками, с основанием ABCD и боковыми ребрами SA, SB, SC и SD, угол между боковым ребром и плоскостью основания будет равен углу в вершине каждого из таких равнобедренных треугольников.

Рассмотрим один из таких треугольников. Он имеет боковое ребро равное 9 см и основание ABCD, которое представляет собой сторону квадрата. Поскольку сторона квадрата равна 9 см, угол в вершине такого треугольника можно найти, используя формулу для нахождения угла в равнобедренном треугольнике:

\[\тг(угла) = \frac{{противолежащая\ сторона}}{{прилежащая\ сторона}} = \frac{{9/2}}{{9}} = \frac{1}{2}\]

Теперь мы знаем тангенс угла в таком треугольнике. Чтобы найти сам угол, мы можем применить обратную функцию тангенса, что даст нам:

угол = \(\arctg(\frac{1}{2})\)

После подстановки значения в тригонометрическую функцию на калькуляторе, мы получаем значение примерно равное 26.57 градусов.

Таким образом, угол, под которым боковое ребро наклонено к плоскости основания, будет примерно 26.57 градусов.

в) Для нахождения значения косинуса угла, под которым боковая грань наклонена к плоскости основания, мы можем использовать тангенс этого угла, который мы уже нашли в предыдущем пункте задачи.

Тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету, то есть соотношению высоты пирамиды к боковой стороне квадрата.

Из рисунка мы видим, что высота пирамиды равна расстоянию от вершины S до плоскости основания ABCD. Так как высота составляет одну из сторон прямоугольного треугольника, а боковая сторона квадрата равна 9 см, мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти значение высоты.

Учитывая, что сторона квадрата равна 9 см, а пирамида SABCD является правильной, высота пирамиды равна:

\[\sqrt{{9^2 - (\frac{9}{2})^2}} = \sqrt{{81 - 40.5}} = \sqrt{{40.5}} = 6\sqrt{{2}}\]

Теперь, когда у нас есть значение высоты и боковой стороны квадрата, мы можем найти значение косинуса угла, используя следующую формулу:

\[\text{{косинус угла}} = \frac{{\text{{противолежащий катет}}}}{{\text{{гипотенуза}}}} = \frac{{6\sqrt{{2}}}}{{9}} = \frac{{2\sqrt{{2}}}}{3}\]

Таким образом, значение косинуса угла, под которым боковая грань наклонена к плоскости основания, равно \(\frac{{2\sqrt{{2}}}}{3}\).

г) Наконец, нам нужно найти высоту пирамиды. Высота пирамиды - это расстояние от вершины S до плоскости, содержащей основание ABCD.

Значение высоты уже было найдено в предыдущем пункте задачи и составляет 6\(\sqrt{2}\) см.

Таким образом, высота пирамиды равна 6\(\sqrt{2}\) см.