6. Знайдіть довжину відрізка MK, якщо M і N є точками на діаметрі кола з центром в точці O, а довжина MN дорівнює 18см

6. Для решения этой задачи нам понадобится использовать свойство окружности, которое гласит, что если точка находится на диаметре окружности, то отрезок, соединяющий эту точку с центром окружности, является радиусом окружности.

Мы знаем, что точки M и N находятся на диаметре окружности. Поэтому отрезок MN является диаметром, а значит, его длина равна диаметру.

Таким образом, длина отрезка MN равна 18 см, а это значит, что длина диаметра окружности равна 18 см.

Чтобы найти длину отрезка MK, который соединяет точку M с центром O, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора. В треугольнике OMK прямоугольный угол есть при вершине O, и мы знаем длину гипотенузы OМ, которая равна половине длины диаметра (половина длины диаметра будет равна \( \frac{18}{2} = 9 \) см).

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину отрезка MK. По теореме Пифагора, сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы. В нашем случае, MK является одним из катетов, а ОМ - гипотенузой. Тогда:

\[ MK^2 + OM^2 = OМ^2 \]
\[ MK^2 + 9^2 = 18^2 \]
\[ MK^2 + 81 = 324 \]
\[ MK^2 = 324 - 81 \]
\[ MK^2 = 243 \]

Для нахождения длины отрезка MK, мы извлекаем квадратный корень из обеих сторон уравнения:

\[ MK = \sqrt{243} \]
\[ MK = 15,59 \, см \]

Таким образом, длина отрезка MK равна около 15,59 см.

7. Чтобы найти радиус R описанного круга, содержащего прямоугольный треугольник, нам необходимо использовать теорему Пифагора и свойства описанной окружности.

По теореме Пифагора, квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. В нашем случае гипотенуза равна 18 см, поэтому:

\[ AB^2 + BC^2 = AC^2 \]
\[ AB^2 + BC^2 = 18^2 \]
\[ AB^2 + BC^2 = 324 \]

Теперь мы знаем, что квадрат радиуса окружности равен произведению полупериметра прямоугольного треугольника на радиус вписанной окружности.

Радиус вписанной окружности является половиной гипотенузы треугольника, поэтому радиус равен \( R = \frac{18}{2} = 9 \) см.

Таким образом, радиус окружности, описывающей прямоугольный треугольник, равен 9 см.

8. Для решения этой задачи нам понадобится использовать свойства касательных и касательных секущих.

Пусть R1 и R2 - радиусы двух касающихся окружностей, а d - расстояние между их центрами.

Мы знаем, что один из радиусов утричи больше другого, то есть R1 = 3R2.

Также нам известно, что расстояние между центрами окружностей равно 20 см.

Мы можем записать уравнения для касательных, проходящих через точку касания.

\[ R1^2 = (d - R1 - R2)^2 \]
\[ R2^2 = (d - R1 - R2)^2 \]

Раскроем скобки:

\[ R1^2 = d^2 - 2d(R1 + R2) + (R1 + R2)^2 \]
\[ R2^2 = d^2 - 2d(R1 + R2) + (R1 + R2)^2 \]

Теперь заменим R1 на 3R2:

\[ (3R2)^2 = d^2 - 2d(3R2 + R2) + (3R2 + R2)^2 \]
\[ 9R2^2 = d^2 - 2d(4R2) + (4R2)^2 \]
\[ 9R2^2 = d^2 - 8dR2 + 16R2^2 \]

Теперь сгруппируем по R2:

\[ 0 = d^2 - 8dR2 + 16R2^2 - 9R2^2 \]
\[ 0 = d^2 - 8dR2 + 7R2^2 \]

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно R2. Мы можем решить его, используя квадратное уравнение. Здесь a = 7, b = -8d, c = d^2.

\[ R2 = \frac{-b ± \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
\[ R2 = \frac{8d ± \sqrt{(8d)^2 - 4(7)(d^2)}}{2(7)} \]
\[ R2 = \frac{8d ± \sqrt{64d^2 - 28d^2}}{14} \]
\[ R2 = \frac{8d ± \sqrt{36d^2}}{14} \]
\[ R2 = \frac{8d ± 6d}{14} \]

Мы берем положительное значение для R2, так как R2 - радиус, и он не может быть отрицательным.

\[ R2 = \frac{14d}{14} = d \]

Таким образом, радиусы двух касающихся окружностей равны d и 3d, где d - расстояние между их центрами.

9. Чтобы найти периметр равнобедренного треугольника, нам необходимо знать длину его основы и отношение, в котором вписанное окружность делит боковую сторону.

Мы знаем, что вписанная окружность делит боковую сторону треугольника в отношении 2:3, начиная с вершины, противоположной основанию, а длина основания треугольника равна 12 см.

Обозначим длину боковой стороны треугольника за x см.

Тогда, согласно условию задачи:

\[ \frac{2}{3} \cdot x = 12 \]

Чтобы найти x, решим это уравнение. Умножим обе части на \(\frac{3}{2}\):

\[ x = \frac{3}{2} \cdot 12 \]

\[ x = 18 \, см \]

Теперь мы знаем длину боковой стороны треугольника.

В равнобедренном треугольнике две стороны равны по длине. Поэтому длина оставшейся стороны (в данном случае основания) также равна 18 см.

Все стороны треугольника найдены, и мы можем найти его периметр, сложив длины всех сторон:

\[ Периметр = длина \, стороны \, 1 + длина \, стороны \, 2 + длина \, стороны \, 3 \]

\[ Периметр = 12 \, см + 18 \, см + 18 \, см \]

\[ Периметр = 48 \, см \]

Таким образом, периметр этого равнобедренного треугольника равен 48 см.