1) Каков объем параллелепипеда, у которого все грани являются равными ромбами со стороной 14 см и острым углом в 45°?

Конечно! Давайте начнем с первой задачи.

1) Чтобы найти объем параллелепипеда, нам нужно найти площадь основания и умножить ее на высоту.

У нас есть информация о гранях параллелепипеда - они являются равными ромбами со стороной 14 см и острым углом в 45°.

Площадь ромба можно найти по формуле:
\[S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2},\]
где \(d_1\) и \(d_2\) - диагонали ромба.

Так как все грани параллелепипеда одинаковые, все диагонали ромбов равны между собой. Давайте обозначим диагонали как \(d\).

Мы также знаем, что сторона ромба \(ABCD\) равна 14 см. Пусть \(O\) - это точка пересечения диагоналей. Тогда \(AO = DO = 7\) см.

Также нам дано, что угол \(AOD\) равен 45°, что означает, что треугольник \(AOD\) является прямоугольным. Значит, через точку \(O\) можно провести еще одну диагональ \(OB\) так, что \(OB = AD = 14\) см. Теперь у нас есть все необходимые данные для решения задачи.

Мы можем найти длину диагонали \(d\) при помощи теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника \(AOB\):
\[d^2 = AO^2 + OB^2.\]

Подставляя значения, получим:
\[d^2 = 7^2 + 14^2 = 49 + 196 = 245.\]

Теперь найдем площадь равностороннего треугольника \(ABC\) со стороной \(AC = 14\).

Формула для площади равностороннего треугольника:
\[S_{\text{треуг}} = \frac{{a^2 \sqrt{3}}}{4}.\]

Подставляя значения, получим:
\[S_{\text{треуг}} = \frac{{14^2 \sqrt{3}}}{4} = \frac{{196 \sqrt{3}}}{4} = 49 \sqrt{3}.\]

Теперь мы можем найти площадь ромба:
\[S_{\text{ромб}} = \frac{{d^2 \sqrt{3}}}{2}.\]

Подставляя значения, получим:
\[S_{\text{ромб}} = \frac{{245 \sqrt{3}}}{2}.\]

Наконец, найдем объем параллелепипеда, умножив площадь ромба на высоту \(h\):
\[V = S_{\text{ромб}} \cdot h.\]

Так как у нас нет информации о высоте, предположим, что высота равна стороне ромба:
\[V = \frac{{245 \sqrt{3}}}{2} \cdot 14 = 3430 \sqrt{3} \, \text{см}^3.\]

Ответ: объем параллелепипеда равен \(3430 \sqrt{3}\) кубических сантиметров.

Теперь перейдем ко второй задаче.

2) Чтобы найти объем пирамиды, нам нужно знать площадь основания и умножить ее на треть высоты пирамиды.

Мы знаем, что угол между апофемой и плоскостью основания пирамиды составляет 30°.

Нам дана высота пирамиды - 30 см.

Апофема - это линия, соединяющая вершину пирамиды со средней точкой ребра основания, которое параллельно основанию пирамиды.

Мы можем найти площадь основания пирамиды, зная высоту пирамиды и угол между апофемой и плоскостью основания.

Площадь основания пирамиды можно найти по формуле:
\[S_{\text{основания}} = \frac{{a \cdot ap}}{2},\]
где \(a\) - сторона основания, \(ap\) - апофема.

Поскольку у нас нет информации о длине стороны основания, мы не сможем точно найти площадь основания и, следовательно, объем пирамиды.

Однако, если предположить, что основание пирамиды - правильный треугольник со стороной \(a\), мы можем использовать следующие формулы:

Длина апофемы пирамиды \(ap\) равна:
\[ap = a \cdot \tan\left(\frac{{\alpha}}{2}\right),\]
где \(\alpha\) - угол между апофемой и плоскостью основания пирамиды.

Теперь мы можем найти площадь основания:
\[S_{\text{основания}} = \frac{{a \cdot ap}}{2} = \frac{{a^2 \cdot \tan\left(\frac{{\alpha}}{2}\right)}}{2}.\]

Наконец, чтобы найти объем пирамиды, умножим площадь основания на треть высоты пирамиды:
\[V = S_{\text{основания}} \cdot \frac{{h}}{3} = \frac{{a^2 \cdot \tan\left(\frac{{\alpha}}{2}\right) \cdot h}}{6}.\]

Ответ: объем пирамиды равен \(\frac{{a^2 \cdot \tan\left(\frac{{\alpha}}{2}\right) \cdot h}}{6}\). Однако, для получения точного значения, нам нужно знать значения стороны основания и угла между апофемой и плоскостью основания.