510. Рассчитайте результат выражения (1/4) возвести в квадрат, затем (1/9) возвести в куб, затем (2/5) возвести

в квадрат, затем (4 2/3) возвести в куб.

Для решения данной задачи, нам необходимо последовательно возвести каждое число в указанную степень.

1. Для начала, возводим \( \frac{1}{4} \) в квадрат:
\[ \left( \frac{1}{4} \right)^2 = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{16} \]

2. Затем, возводим \( \frac{1}{9} \) в куб:
\[ \left( \frac{1}{9} \right)^3 = \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{729} \]

3. Теперь, возведем \( \frac{2}{5} \) в куб:
\[ \left( \frac{2}{5} \right)^3 = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} = \frac{8}{125} \]

4. Далее, возводим \( \frac{4}{7} \) в куб:
\[ \left( \frac{4}{7} \right)^3 = \frac{4}{7} \cdot \frac{4}{7} \cdot \frac{4}{7} = \frac{64}{343} \]

5. Продолжаем, возводим \( 1 \frac{1}{2} \) (или \( \frac{3}{2} \)) в квадрат:
\[ \left( \frac{3}{2} \right)^2 = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{4} \]

6. Теперь, возведем \( 1 \frac{1}{6} \) (или \( \frac{7}{6} \)) в квадрат:
\[ \left( \frac{7}{6} \right)^2 = \frac{7}{6} \cdot \frac{7}{6} = \frac{49}{36} \]

7. Далее, возводим \( 2 \frac{1}{3} \) (или \( \frac{7}{3} \)) в куб:
\[ \left( \frac{7}{3} \right)^3 = \frac{7}{3} \cdot \frac{7}{3} \cdot \frac{7}{3} = \frac{343}{27} \]

8. Наконец, возводим \( 3 \frac{1}{2} \) (или \( \frac{7}{2} \)) в квадрат:
\[ \left( \frac{7}{2} \right)^2 = \frac{7}{2} \cdot \frac{7}{2} = \frac{49}{4} \]

9. И последнее, возводим \( 4 \frac{2}{3} \) (или \( \frac{14}{3} \)) в куб:
\[ \left( \frac{14}{3} \right)^3 = \frac{14}{3} \cdot \frac{14}{3} \cdot \frac{14}{3} = \frac{2744}{27} \]

Таким образом, результат данного выражения будет:
\[ \frac{1}{16}, \frac{1}{729}, \frac{8}{125}, \frac{64}{343}, \frac{9}{4}, \frac{49}{36}, \frac{343}{27}, \frac{49}{4}, \frac{2744}{27} \]