5. Яка активність зразка з 10° ядер Плутонію-239? Стала розпаду радіоактивного Плутонію-239 складає 9,01-10 15 с

Давайте рассмотрим задачи по очереди.

5. Для данной задачи нам дана стала распада радиоактивного Плутония-239, которая составляет \(9.01 \times 10^{15}\) секунд. Нам нужно найти активность образца при угле 10°.

Активность образца данного радиоизотопа можно выразить следующей формулой:

\[A = \lambda \cdot N\]

где \(A\) - активность, \(\lambda\) - стала распада, которая в данном случае равна \(9.01 \times 10^{15}\) секунд, \(N\) - количество атомов.

Нам известен угол, под которым происходит измерение активности. Запишем формулу для нахождения количества атомов:

\[N = \frac{A}{\lambda \cdot e^{-\lambda t}}\]

где \(t\) - время в секундах, прошедшее после начала измерений.

Подставим известные значения в формулу:

\[\theta = 10^\circ = \frac{\pi}{18} \quad \text{(переведем в радианы)}\]
\[\theta = \frac{\pi}{18} = \frac{\pi}{18} \quad \text{(допустимая погрешность)}\]
\[\theta = 0.174533 \quad \text{(округлим до 6 знаков после запятой)}\]
\[\lambda = 9.01 \times 10^{15} \quad \text{(стала распада)}\]
\[t = 0 \quad \text{(начало измерений)}\]

Теперь мы можем выразить количество атомов:

\[N = \frac{A}{\lambda \cdot e^{-\lambda t}} = \frac{A}{\lambda \cdot e^{-\lambda \cdot 0}} = \frac{A}{\lambda}\]

Подставим значения и рассчитаем количество атомов:

\[N = \frac{A}{\lambda} = \frac{10}{9.01 \times 10^{15}} = 1.10988 \times 10^{-15}\]

Ответ: количество активных атомов Плутония-239 при угле 10° равно \(1.10988 \times 10^{-15}\).

6. В этой задаче нам нужно найти интервал времени, когда первоначальное количество радиоактивных атомов уменьшится вдвое. Для этого нам дана стала распада радиоактивного Урана-235, которая составляет \(3.14 \times 10^{-10}\) секунды.

Мы можем использовать формулу для расчета количества атомов, которую мы использовали в предыдущей задаче:

\[N = \frac{A}{\lambda}\]

Теперь нам нужно найти время \(t\), при котором количество атомов будет вдвое меньше первоначального значения \(N_0\). Мы можем записать это следующим образом:

\[\frac{N_0}{2} = \frac{A}{\lambda \cdot e^{-\lambda t}}\]

Мы знаем, что стартовое значение \(N_0\) равно \(N\) из предыдущей задачи:

\[N_0 = 1.10988 \times 10^{-15}\]

Подставим известные значения в уравнение и решим его относительно \(t\):

\[\frac{N_0}{2} = \frac{A}{\lambda \cdot e^{-\lambda t}}\]
\[\frac{1.10988 \times 10^{-15}}{2} = \frac{10}{9.01 \times 10^{15} \cdot e^{-9.01 \times 10^{15} t}}\]
\[5.5494 \times 10^{-16} = \frac{10}{9.01 \times 10^{15} \cdot e^{-9.01 \times 10^{15} t}}\]
\[e^{-9.01 \times 10^{15} t} = \frac{10}{9.01 \times 10^{15} \times 5.5494 \times 10^{-16}}\]
\[e^{-9.01 \times 10^{15} t} = 3.608 \times 10^{16}\]

Далее, возьмем натуральный логарифм от обеих частей уравнения:

\[-9.01 \times 10^{15} t = \ln(3.608 \times 10^{16})\]
\[ t = -\frac{\ln(3.608 \times 10^{16})}{9.01 \times 10^{15}}\]
\[ t = 0.3920 \quad \text{(округлено до 4 знаков после запятой)}\]

Ответ: интервал времени, при котором первоначальное количество радиоактивных атомов уменьшается вдвое, составляет приблизительно 0.392 секунды.

7. В этой задаче нам нужно найти энергию, полученную от 24 граммов плутония-238 за 10 миллиграммов урана-235. Для этого нам дана стала распада радиоактивного плутония-238, которая составляет \(2.6 \times 10^{-10}\) секунды.

Энергия, производимая при распаде радиоактивного вещества, можно рассчитать с использованием формулы:

\[E = m \cdot c^2\]

где \(E\) - энергия, \(m\) - масса изменяемой вещества, \(c\) - скорость света.

Массу плутония-238, который переходит в плутоний-235, можно рассчитать:

\[m_{\text{Плутоний-235}} = \frac{m_{\text{Урана-235}}}{m_{\text{Плутоний-238}}} \cdot m_{\text{Плутоний-239}}\]

Теперь мы можем рассчитать массу плутония-235:

\[m_{\text{Плутоний-235}} = \frac{10 \, \text{мг}}{235} \cdot 238 = 1.0149 \times 10^{-4}\]

Теперь мы можем рассчитать энергию:

\[E = m_{\text{Плутоний-235}} \cdot c^2 = 1.0149 \times 10^{-4} \cdot (3 \times 10^8)^2 = 9.1341 \times 10^{12}\]

Ответ: энергия, полученная от 24 граммов плутония-238 при распаде 10 миллиграммов урана-235, составляет примерно \(9.1341 \times 10^{12}\) эрг.