5 Straight lines y = x + 4 and y = -2x + 1 intersect at point O. a) Find the coordinates of point O; b) Write

a) Чтобы найти координаты точки O, где пересекаются прямые y = x + 4 и y = -2x + 1, мы должны приравнять их уравнения и решить систему уравнений.

Уравнение первой прямой, y = x + 4, означает, что значение y равно x плюс 4.
Уравнение второй прямой, y = -2x + 1, означает, что значение y равно -2x плюс 1.

Приравняем оба уравнения:
x + 4 = -2x + 1

Теперь решим это уравнение, добавив 2x и вычитая 1 с обеих сторон:
x + 2x = 1 - 4

3x = -3

Разделим оба выражения на 3:
x = -1

Теперь, чтобы найти y-координату, мы можем подставить x = -1 в любое из исходных уравнений.
Мы возьмем y = x + 4, так как оно проще для расчета:
y = -1 + 4
y = 3

Таким образом, координаты точки O равны (-1, 3).

b) Чтобы написать уравнение окружности с центром в точке O, которая проходит через точку B (2,-1), мы знаем, что расстояние от центра окружности до точки B равно радиусу окружности.

Радиус окружности можно найти, используя формулу расстояния между двумя точками:

\[ \text{Радиус} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

Таким образом, мы можем вычислить радиус, зная координаты центра O (-1, 3) и точки B (2, -1):

\[ \text{Радиус} = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (-1 - 3)^2} \]
\[ \text{Радиус} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} \]
\[ \text{Радиус} = \sqrt{9 + 16} \]
\[ \text{Радиус} = \sqrt{25} \]
\[ \text{Радиус} = 5 \]

Используя полученный радиус, мы можем записать уравнение окружности:

\[ (x - (-1))^2 + (y - 3)^2 = 5^2 \]
\[ (x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 25 \]

Таким образом, уравнение окружности с центром в точке O, проходящей через точку B (2,-1), будет иметь вид:

\[ (x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 25 \]

c) Чтобы найти уравнение прямой, параллельной прямой y = -2x и проходящей через точку B (2,-1), мы знаем, что параллельные прямые имеют одинаковый наклон.

Таким образом, уравнение новой прямой будет иметь вид y = mx + c, где m - наклон прямой, а c - свободный член.

Наклон параллельной линии будет таким же, как у данной линии, то есть -2.

Теперь мы можем использовать координаты точки B (2,-1) и известный наклон (-2) для определения свободного члена c.

Подставим x = 2 и y = -1 в уравнение y = mx + c:
-1 = -2(2) + c
-1 = -4 + c

Выразим c:
c = -1 + 4
c = 3

Таким образом, уравнение прямой, параллельной прямой y = -2x и проходящей через точку B (2,-1) будет иметь вид:

y = -2x + 3