5. Наши дороги соединяют населённые пункты A, B, C, D, E, и их протяжённость указана в таблице. (Если в таблице

Для решения данной задачи, нам необходимо определить длину самого короткого пути между населёнными пунктами A и E. Для этого мы можем воспользоваться алгоритмом Дейкстры.

Алгоритм Дейкстры обычно используется для нахождения кратчайшего пути во взвешенном графе. В нашем случае, наши населённые пункты можно представить в виде графа, где вершины графа - это населённые пункты, а рёбра графа - это дороги между населёнными пунктами.

Давайте представим этот граф следующим образом:

\[
\begin{{array}}{{cccccc}}
& A & B & C & D & E \\
A & - & 2 & - & - & 5 \\
B & 2 & - & 4 & - & 1 \\
C & - & 4 & - & 3 & 2 \\
D & - & - & 3 & - & - \\
E & 5 & 1 & 2 & - & - \\
\end{{array}}
\]

В этой таблице каждое число соответствует весу ребра между двумя населёнными пунктами. Если прямой дороги между пунктами нет, то в таблице ставится прочерк (-).

Для нахождения самого короткого пути, мы будем использовать алгоритм Дейкстры.

1. Создайте пустое множество вершин Q.
2. Инициализируйте расстояния до населённых пунктов бесконечностью, кроме начальной вершины, расстояние до которой равно 0.
3. Добавьте начальную вершину в Q.
4. Пока Q не пустое, повторите следующие шаги:
4.1. Выберите вершину u из Q с наименьшим расстоянием.
4.2. Удалите вершину u из Q.
4.3. Для каждой вершины v, соседней к u, проверьте, можно ли через u добраться до нее на коротком пути. Если это возможно, обновите расстояние до v. Если расстояние до v обновилось, добавьте v обратно в Q.

Давайте применим этот алгоритм для нахождения самого короткого пути между населёнными пунктами A и E:

1. Начнем с вершины A. Расстояния до всех остальных вершин пока что будут бесконечность.
2. Расстояние до B равно 2, до E равно 5. Добавим вершину B в Q.
3. Теперь рассмотрим вершину B. Для каждой соседней к B вершины обновим расстояния, если получится добраться до них на коротком пути: расстояние до A остается 0, расстояние до C становится 6, расстояние до E становится 3.
4. Добавим вершину E в Q.
5. Рассмотрим вершину E. Для каждой соседней к E вершины обновим расстояния, если получится добраться до них на коротком пути: расстояние до A остается 0, расстояние до B остается 2, расстояние до C становится 4.
6. Добавим вершину C в Q.
7. Рассмотрим вершину C. Для каждой соседней к C вершины обновим расстояния, если получится добраться до них на коротком пути: расстояние до B остается 2, расстояние до D становится 7, расстояние до E остается 3.
8. Добавим вершину D в Q.
9. Рассмотрим вершину D. Для каждой соседней к D вершины обновим расстояния, если получится добраться до них на коротком пути: расстояние до C остается 4.
10. Данный шаг завершает процесс. Длина самого короткого пути от населённого пункта A до E равна 3.

Таким образом, длина самого короткого пути между населёнными пунктами A и E равна 3.