5. а) Екі натурал сан, олардың қосындысы 240-ге тең болатын тізбектес бар ма? ә) Табылған екі сандық көшірмелердің

Шалом! Давайте начнем с решения задачи 5(a). Нам нужно найти два натуральных числа, сумма которых равна 240, и определить, является ли такая пара чисел арифметической прогрессией.

Чтобы найти два числа, сумма которых равна 240, мы можем воспользоваться формулой для суммы арифметической прогрессии:
\[S = \frac{n}{2}(a_1 + a_n),\]
где S - сумма прогрессии, n - количество чисел, a_1 - первый член прогрессии, a_n - последний член прогрессии.

В данном случае у нас только два числа, поэтому n = 2. Также, у нас нет информации о первом и последнем членах прогрессии. Мы знаем только их сумму - 240.

Предположим, что первое число равно x, а второе число равно 240-x. Тогда формула для суммы арифметической прогрессии принимает вид:
\[240 = \frac{2}{2}(x + (240 - x)).\]

Упрощая это уравнение, получаем:
\[240 = x + 240 - x.\]

После сокращения, видим, что x исчезают, и мы получаем утверждение, что 240 = 240. Таким образом, мы видим, что любые два числа, сумма которых равна 240, являются арифметической прогрессией.

Теперь перейдем к решению задачи 5(b). Нам нужно найти два числа, сумма квадратов которых равна 106, и определить, является ли такая пара чисел геометрической прогрессией.

Предположим, что первое число равно x, а второе число равно y. Тогда у нас есть два уравнения:
\[x + y = 14,\]
\[x^2 + y^2 = 106.\]

Для решения данной системы уравнений можно воспользоваться методом подстановки или методом исключения неизвестных. Я воспользуюсь методом подстановки.

Из первого уравнения мы можем выразить одну переменную через другую:
\[x = 14 - y.\]

Подставим это выражение во второе уравнение:
\[(14 - y)^2 + y^2 = 106.\]

При раскрытии скобок получаем следующее квадратное уравнение:
\[y^2 - 28y + 196 + y^2 = 106.\]

Объединяя подобные слагаемые, получаем:
\[2y^2 - 28y + 90 = 0.\]

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант (D) квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) вычисляется по формуле: \(D = b^2 - 4ac\).

Применяя эту формулу к уравнению \(2y^2 - 28y + 90 = 0\), получим:
\[D = (-28)^2 - 4*2*90 = 784 - 720 = 64.\]

Так как дискриминант положительный (D > 0), у нас есть два различных вещественных решения.

Далее, используя формулу для нахождения корней квадратного уравнения: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\), получим:
\[y_1 = \frac{-(-28) + \sqrt{64}}{2*2} = \frac{28 + 8}{4} = \frac{36}{4} = 9,\]
\[y_2 = \frac{-(-28) - \sqrt{64}}{2*2} = \frac{28 - 8}{4} = \frac{20}{4} = 5.\]

Теперь, чтобы найти значения x, подставим найденные значения y в первое уравнение:
\[x_1 = 14 - y_1 = 14 - 9 = 5,\]
\[x_2 = 14 - y_2 = 14 - 5 = 9.\]

Таким образом, мы нашли две пары чисел, сумма квадратов которых равна 106:
\[(5,9) \text{ и } (9,5).\]

Проверим, являются ли эти пары чисел геометрической прогрессией.
Чтобы пара чисел была геометрической прогрессией, необходимо, чтобы отношение второго числа к первому было одинаковым для любых двух чисел в прогрессии.

В первой паре чисел \((5,9)\) отношение второго числа к первому равно \(\frac{9}{5}\).
Во второй паре чисел \((9,5)\) отношение второго числа к первому равно \(\frac{5}{9}\).

Обратите внимание, что отношение во второй паре чисел \(\frac{5}{9}\) не равно отношению в первой паре чисел \(\frac{9}{5}\). Таким образом, данные пары чисел не являются геометрической прогрессией.

Надеюсь, я смог объяснить задачи и решить их пошагово для вас. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать их!