445. Как можно доказать, что векторы а =i+j+4k, b = i — 2ј и с = зі — 3ј + 4k компланарны? Кроме того, как найти

Для доказательства компланарности векторов а = i + j + 4k, b = i - 2j и с = 3i - 3j + 4k, мы можем воспользоваться следующими шагами:

Шаг 1: Проверим, являются ли векторы а, b и с коллинеарными. Если векторы коллинеарны, то они автоматически компланарны (лежат в одной плоскости).

Для этого рассмотрим отношение координат векторов. Пусть а = (a₁, a₂, a₃), b = (b₁, b₂, b₃) и с = (с₁, с₂, с₃).

Выполнив соответствующие вычисления, получаем:

а₁/b₁ = (1)/(-1) = -1,
а₂/b₂ = (1)/(-2) = -1/2,
а₃/b₃ = (4)/(0) = неопределено.

Данные отношения координат не равны друг другу, значит, векторы а и b не коллинеарны.

Шаг 2: Найдем линейную комбинацию векторов а, b и с, равную нулевому вектору (в случае линейной зависимости).

Пусть скаляры x, y и z таковы, что x•а + y•b + z•с = 0, где 0 - это нулевой вектор.

Преобразуем данное уравнение:

x•(i + j + 4k) + y•(i - 2j) + z•(3i - 3j + 4k) = 0.

Распишем векторы по координатам и проведем вычисления:

(x + y + 3z)•i + (x - 2y - 3z)•j + (4x - 3z)•k = 0.

Из полученного уравнения следуют следующие равенства:

x + y + 3z = 0,
x - 2y - 3z = 0,
4x - 3z = 0.

Цель состоит в том, чтобы определить, допускает ли данная система уравнений ненулевые решения (когда x, y и z не равны нулю). Если система имеет ненулевое решение, то векторы а, b и с являются линейно зависимыми.

Для решения этой системы уравнений можно воспользоваться методом Гаусса-Жордана, составив расширенную матрицу системы:

\[
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 3 & 0 \\
1 & -2 & -3 & 0 \\
4 & 0 & -3 & 0 \\
\end{bmatrix}
\]

Путем элементарных преобразований эту матрицу можно привести к треугольному виду:

\[
\begin{bmatrix}
1 & 0 & -9/7 & 0 \\
0 & 1 & 12/7 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}
\]

Из последней строки матрицы видно, что система уравнений имеет решение в виде зависимости: -9/7 • а + 12/7 • b + 0 • с = 0.

Таким образом, векторы а, b и с являются линейно зависимыми.

В итоге, мы доказали, что векторы а, b и с являются компланарными, и нашли линейную зависимость между ними: -9/7 • а + 12/7 • b + 0 • с = 0.