4. Який радіус описаного кола, яке оточує трикутник ABC, якщо окружність з центром О вписана у цей трикутник і ВО

Щоб знайти радіус описаного кола, яке оточує трикутник ABC, ми можемо скористатися формулою, яка вказує на зв"язок між радіусом описаного кола та сторонами трикутника. Зауважимо, що радіус описаного кола є відстанню від центру кола до однієї зі сторін трикутника.

Позначимо радіус описаного кола як R. Позначимо сторони трикутника як AB, BC та AC. Позначимо центр вписаної окружності як O. За умовою маємо ВО = 2√3 см та СО = 3 см.

Зверніть увагу на те, що коло, яке описує трикутник ABC, співпадає з колом, вписаним у трикутник ABO, оскільки точка О є відрізком перпендикуляра, проведеного з центру кола до сторони трикутника. Тому, радіус описаного кола R буде рівний відстані між центром кола та однією зі сторін трикутника ABO.

Щоб знайти сторону AB трикутника ABO, розглянемо правильний трикутник OAB зі стороною OA рівною 3 см, стороною OB рівною 2√3 см та кутом AOB рівним 120°. За допомогою теореми косинусів можемо знайти сторону AB:

\[ AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(AOB) \]

\[ AB^2 = 3^2 + (2\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \cos(120) \]

\[ AB^2 = 9 + 12 - 12\sqrt{3} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \]

\[ AB^2 = 9 + 12 + 6\sqrt{3} \]

\[ AB^2 = 21 + 6\sqrt{3} \]

\[ AB = \sqrt{21 + 6\sqrt{3}} \]

Отже, сторона AB трикутника ABO дорівнює \(\sqrt{21 + 6\sqrt{3}}\) см.

Якщо ми знаємо сторону AB, то можемо знайти радіус описаного кола, використовуючи формулу:

\[ R = \frac{AB}{2 \sin(A)} \]

Так як у нас кут A дорівнює 120°, використовуємо вираз для синуса 60°:

\[ R = \frac{\sqrt{21 + 6\sqrt{3}}}{2 \sin(60)} = \frac{\sqrt{21 + 6\sqrt{3}}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{21 + 6\sqrt{3}}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{21 + 6\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{63 + 18\sqrt{3}}}{3} \]

Отже, радіус описаного кола, яке оточує трикутник ABC, є \(\frac{\sqrt{63 + 18\sqrt{3}}}{3}\) см.