4. Яка форма рівнянь координат двох тіл, що рухаються вздовж вісі Ох: х = 8- 2t +t°; х2 =-2-5t +2t? 1) Для кожного тіла

1) Для розв"язання даної задачі, спочатку перевіримо форми рівнянь координат двох тіл, що рухаються вздовж осі \(Ox\):
\[x = 8 - 2t + t^2\]
\[x_2 = -2 - 5t + 2t^2\]

a) Характер руху першого тіла:
Зауважимо, що формула має квадрат та коефіцієнт перед \(t^2\) додатний. Це говорить про те, що для першого тіла рух є рівномірно прискореним (тобто прискорення постійне і спрямоване проти осі \(Ox\)).

б) Початкова координата першого тіла:
За формулою \(x = 8 - 2t + t^2\) можна знайти початкову координату, коли \(t = 0\):
\[x(0) = 8 - 2 \cdot 0 + 0^2 = 8\]
Таким чином, початкова координата першого тіла дорівнює 8.

в) Величина і напрямок початкової швидкості першого тіла:
Швидкість - це похідна координати за часом, тому визначимо похідну від \(x(t)\):
\[v(t) = \frac{dx(t)}{dt} = -2 + 2t\]
Для визначення початкової швидкості підставимо \(t = 0\):
\[v(0) = -2 + 2 \cdot 0 = -2\]
Отже, початкова швидкість першого тіла дорівнює -2 і спрямована проти осі \(Ox\).

г) Прискорення руху першого тіла:
За формулою для прискорення \(a(t) = \frac{dv(t)}{dt}\) знаходимо похідну від \(v(t)\):
\[a(t) = \frac{d^2x(t)}{dt^2} = \frac{d}{dt}(-2 + 2t) = 2\]

Отже, характер руху першого тіла - рівномірно прискорений, початкова координата - 8, початкова швидкість - -2, прискорення руху - 2.

Тепер розглянемо друге тіло:

а) Характер руху другого тіла:
Зауважимо, що формула має квадрат та коефіцієнт перед \(t^2\) від"ємний. Це означає, що рух другого тіла є рівномірно прискореним, але з прискоренням, спрямованим уздовж осі \(Ox\).

б) Початкова координата другого тіла:
За формулою \(x_2 = -2 - 5t + 2t^2\) знаходимо початкову координату при \(t = 0\):
\[x_2(0) = -2 - 5 \cdot 0 + 2 \cdot 0^2 = -2\]
Тому початкова координата другого тіла дорівнює -2.

в) Величина і напрямок початкової швидкості другого тіла:
Для визначення початкової швидкості обчислимо похідну від \(x_2(t)\):
\[v_2(t) = \frac{dx_2(t)}{dt} = -5 + 4t\]
Підставивши \(t = 0\), знайдемо початкову швидкість:
\[v_2(0) = -5 + 4 \cdot 0 = -5\]
Таким чином, початкова швидкість другого тіла становить -5, і вона спрямована вздовж осі \(Ox\).

г) Прискорення руху другого тіла:
Обчислимо похідну від \(v_2(t)\) для знаходження прискорення:
\[a_2(t) = \frac{d^2x_2(t)}{dt^2} = \frac{d}{dt}(-5 + 4t) = 4\]

Таким чином, характер руху другого тіла - рівномірно прискорений, початкова координата - -2, початкова швидкість - -5, прискорення руху - 4.

2) Час і координата зіткнення тіл:
Для знаходження часу і координати зіткнення тіл, рівняємо рівняння координат першого і другого тіла:
\[8 - 2t + t^2 = -2 - 5t + 2t^2\]
Перенесемо всі члени в одну частину рівняння:
\[3t^2 - 3t - 10 = 0\]
Для подальшого розв"язування цього квадратного рівняння скористаємось формулою дискримінанта:
\[D = b^2 - 4ac\]
\[D = (-3)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 9 + 120 = 129\]
Враховуючи, що дискримінант \(D > 0\), маємо два корені:
\[t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}, t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}\]
Підставимо відповідні значення для коефіцієнтів:
\[t_1 = \frac{3 + \sqrt{129}}{6}, \quad t_2 = \frac{3 - \sqrt{129}}{6}\]
Таким чином, ми знайшли два значення часу зіткнення тіл.

Для знаходження координати зіткнення підставимо ці значення \(t\) в будь-яке з рівнянь руху та обчислюємо відповідні значення \(x\).

3) Рівняння проекцій швидкості та переміщення:
Для кожного тіла ми вже знайшли рухові рівняння \(x(t)\):
\[x = 8 - 2t + t^2\]
\[x_2 = -2 - 5t + 2t^2\]
Тепер знайдемо проекцію швидкості \(v(t)\) для кожного тіла, обчисливши похідну від \(x(t)\) та \(x_2(t)\).

Для першого тіла:
\[v(t) = \frac{dx(t)}{dt} = -2 + 2t\]

Для другого тіла:
\[v_2(t) = \frac{dx_2(t)}{dt} = -5 + 4t\]

Таким чином, ми записали рівняння проекцій швидкості для кожного тіла.

Теж саме ми зробимо для проекцій переміщення. Розрахуємо похідну \(v(t)\) та \(v_2(t)\):

Для першого тіла:
\[a(t) = \frac{dv(t)}{dt} = 2\]

Для другого тіла:
\[a_2(t) = \frac{dv_2(t)}{dt} = 4\]

Тепер у нас є рівняння проекцій швидкості \(v(t)\), \(v_2(t)\) та прискорення \(a(t)\), \(a_2(t)\) для кожного тіла.

В завершення, нагадую, що будування графіків проекцій швидкості та переміщення, як інструмент візуалізації руху тіл, може бути корисним для більш чіткого розуміння даної задачі.