4. Во сколько раз следует изменить расстояние между телами, чтобы гравитационная сила их притяжения увеличилась

Чтобы ответить на этот вопрос, нам нужно воспользоваться законом всемирного притяжения, сформулированным Исааком Ньютоном. Закон гласит, что гравитационная сила притяжения между двумя объектами прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:

\[F = G \cdot \frac{{m_1 \cdot m_2}}{{r^2}}\]

где F - гравитационная сила, G - гравитационная постоянная, \(m_1\) и \(m_2\) - массы тел, а r - расстояние между ними.

Чтобы понять, во сколько раз следует изменить расстояние между телами, чтобы гравитационная сила их притяжения увеличилась в 16 раз, мы можем использовать пропорцию между гравитационными силами:

\[\frac{{F_2}}{{F_1}} = \left(\frac{{r_1}}{{r_2}}\right)^2\]

где \(F_1\) и \(F_2\) - исходная и измененная гравитационная силы соответственно, а \(r_1\) и \(r_2\) - исходное и измененное расстояние между телами.

Мы знаем, что гравитационная сила увеличивается в 16 раз, поэтому:

\[\frac{{F_2}}{{F_1}} = 16\]

Подставляя это в пропорцию, получаем:

\[16 = \left(\frac{{r_1}}{{r_2}}\right)^2\]

Чтобы избавиться от квадратного корня, извлечем корень из обеих сторон:

\[\sqrt{16} = \frac{{r_1}}{{r_2}}\]

Так как корень из 16 равен 4, получаем:

\[4 = \frac{{r_1}}{{r_2}}\]

Чтобы выразить \(r_2\) через \(r_1\), перепишем уравнение:

\[r_2 = \frac{{r_1}}{{4}}\]

Таким образом, расстояние между телами следует изменить в 4 раза меньше, чтобы гравитационная сила притяжения между ними увеличилась в 16 раз.