4. Прочитайте следующие записи. Как можно определить множества? Если возможно, приведите перечисление элементов данных

Чтобы определить множество, необходимо прочитать записи и понять, какие условия заданы для элементов этого множества. Рассмотрим каждую запись по очереди:

а) Множество Х1 состоит из всех чисел $x$, которые являются натуральными и меньше 8. То есть, множество Х1 будет содержать натуральные числа, которые строго меньше 8. Перечислим элементы этого множества: $X1=\{1,2,3,4,5,6,7\}$.

б) Множество состоит из всех чисел $x$, которые являются целыми. В данном случае множество будет содержать все целые числа. Поскольку целые числа являются бесконечным множеством, здесь необходимо указать множество всех целых чисел $\mathbb{Z}$.

в) Множество состоит из всех чисел $x$, которые являются натуральными и больше 0. То есть, множество будет содержать натуральные числа, начиная с 1. Перечислим элементы этого множества: $X3=\{1,2,3,4,5,\dots \}$.

г) Множество Х7 состоит из всех чисел $x$, которые являются целыми и удовлетворяют уравнению $x^2+5x+7=0$. Для определения этого множества необходимо решить данное уравнение. Поскольку это квадратное уравнение, мы можем применить квадратное уравнение. Запишем уравнение в стандартной форме:

$$x^2+5x+7=0$$

Применяя квадратное уравнение, получаем два значения $x$:

$$x_1=-\frac{5}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$$

$$x_2=-\frac{5}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$$

Однако, по условию задачи говорится, что множество состоит из всех целых чисел. В данном случае нет целочисленных решений уравнения, поэтому множество Х7 будет пустым: $X7=\{\}$.

д) Множество Х8 состоит из всех чисел $x$, которые являются натуральными и удовлетворяют условию $\frac{x-1}{x-2}$. Чтобы определить элементы этого множества, необходимо рассмотреть условие. Однако, здесь не указано никакое ограничение на $x$, поэтому мы можем найти все возможные значения этого выражения. Раскроем скобки и упростим:

$$\frac{x-1}{x-2}=\frac{x}{x-2}-\frac{1}{x-2}$$

Таким образом, условие принимает вид:

$$\frac{x}{x-2}-\frac{1}{x-2}$$

Это выражение не является уравнением, так как не указано, в каком виде оно должно равняться нулю или другому значению. Поэтому, мы не можем точно определить множество Х8 с таким условием.

В итоге, рассмотрев все записи и элементы множеств, мы получаем следующие результаты:

а) $X1=\{1,2,3,4,5,6,7\}$

б) $\mathbb{Z}$ (множество всех целых чисел)

в) $X3=\{1,2,3,4,5,\dots \}$

г) $X7=\{\}$ (пустое множество, так как уравнение не имеет целочисленных решений)

д) Невозможно точно определить множество Х8 из данного условия.