4. Прочитайте следующие записи. Как можно определить множества? Если возможно, приведите перечисление элементов данных

Чтобы определить множество, необходимо прочитать записи и понять, какие условия заданы для элементов этого множества. Рассмотрим каждую запись по очереди:

а) Множество Х1 состоит из всех чисел \(x\), которые являются натуральными и меньше 8. То есть, множество Х1 будет содержать натуральные числа, которые строго меньше 8. Перечислим элементы этого множества: \(X1 = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}\).

б) Множество состоит из всех чисел \(x\), которые являются целыми. В данном случае множество будет содержать все целые числа. Поскольку целые числа являются бесконечным множеством, здесь необходимо указать множество всех целых чисел \(\mathbb{Z}\).

в) Множество состоит из всех чисел \(x\), которые являются натуральными и больше 0. То есть, множество будет содержать натуральные числа, начиная с 1. Перечислим элементы этого множества: \(X3 = \{1, 2, 3, 4, 5, \ldots\}\).

г) Множество Х7 состоит из всех чисел \(x\), которые являются целыми и удовлетворяют уравнению \(x^2 + 5x + 7 = 0\). Для определения этого множества необходимо решить данное уравнение. Поскольку это квадратное уравнение, мы можем применить квадратное уравнение. Запишем уравнение в стандартной форме:

\[x^2 + 5x + 7 = 0\]

Применяя квадратное уравнение, получаем два значения \(x\):

\[x_1 = -\frac{5}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i\]

\[x_2 = -\frac{5}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\]

Однако, по условию задачи говорится, что множество состоит из всех целых чисел. В данном случае нет целочисленных решений уравнения, поэтому множество Х7 будет пустым: \(X7 = \{\}\).

д) Множество Х8 состоит из всех чисел \(x\), которые являются натуральными и удовлетворяют условию \(\frac{{x-1}}{{x-2}}\). Чтобы определить элементы этого множества, необходимо рассмотреть условие. Однако, здесь не указано никакое ограничение на \(x\), поэтому мы можем найти все возможные значения этого выражения. Раскроем скобки и упростим:

\[\frac{{x-1}}{{x-2}} = \frac{x}{x-2} - \frac{1}{x-2}\]

Таким образом, условие принимает вид:

\[\frac{x}{x-2} - \frac{1}{x-2}\]

Это выражение не является уравнением, так как не указано, в каком виде оно должно равняться нулю или другому значению. Поэтому, мы не можем точно определить множество Х8 с таким условием.

В итоге, рассмотрев все записи и элементы множеств, мы получаем следующие результаты:

а) \(X1 = \{1,2,3,4,5,6,7\}\)

б) \(\mathbb{Z}\) (множество всех целых чисел)

в) \(X3 = \{1,2,3,4,5,\ldots\}\)

г) \(X7 = \{\}\) (пустое множество, так как уравнение не имеет целочисленных решений)

д) Невозможно точно определить множество Х8 из данного условия.