4. Постройте квадрат KLMN на координатной плоскости с вершинами в следующих точках: K(-3, 1); L(1, 7); M(7

Для решения этой задачи, мы можем использовать формулы для координат точек, расстояния между точками и уравнение прямой.

а) Для определения координат точки O - пересечения диагоналей KM и LN, нам нужно найти середины диагоналей и соединить их отрезком.

1. Найдем середину диагонали KM. Для этого сложим x-координаты вершин K и M, и разделим результат на 2. Аналогично, сложим y-координаты вершин K и M, и разделим результат на 2. Получим:

\(x_{KM} = \frac{(-3 + 7)}{2} = 2\)

\(y_{KM} = \frac{(1 + 3)}{2} = 2\)

Середина диагонали KM имеет координаты (2, 2).

2. Найдем середину диагонали LN, используя аналогичный подход:

\(x_{LN} = \frac{(1 + 3)}{2} = 2\)

\(y_{LN} = \frac{(7 + (-3))}{2} = 2\)

Середина диагонали LN также имеет координаты (2, 2).

3. Так как обе середины диагоналей имеют одинаковые координаты, то точка O также имеет координаты (2, 2). Ответ: O(2, 2).

б) Чтобы найти координаты точки пересечения луча NM с осями координат, нам нужно найти уравнение прямой, заданной двумя точками N и M, и подставить значения, чтобы найти координаты пересечения.

1. Найдем угловой коэффициент прямой NM, используя формулу:

\(k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\)

где \((x_1, y_1)\) - координаты точки N \((3, -3)\), а \((x_2, y_2)\) - координаты точки M \((7, 3)\).

\(k = \frac{3 - (-3)}{7 - 3} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}\)

2. Теперь, зная угловой коэффициент прямой, мы можем написать уравнение прямой NM в форме \(y = kx + b\), где \(b\) - свободный член.

Подставим координаты точки N в уравнение и найдем \(b\):

\(-3 = \frac{3}{2} \cdot 3 + b\)

\(-3 = \frac{9}{2} + b\)

\(b = -\frac{15}{2}\)

3. Получаем уравнение прямой \(y = \frac{3}{2}x - \frac{15}{2}\).

4. Чтобы найти координаты точки пересечения луча NM с осью x, мы подставим \(y = 0\) в уравнение прямой и найдем \(x\):

\(0 = \frac{3}{2}x - \frac{15}{2}\)

\(\frac{3}{2}x = \frac{15}{2}\)

\(x = 5\)

Таким образом, точка пересечения луча NM с осью x имеет координаты (5, 0).

5. Чтобы найти координаты точки пересечения луча NM с осью y, мы подставим \(x = 0\) в уравнение прямой и найдем \(y\):

\(y = \frac{3}{2} \cdot 0 - \frac{15}{2}\)

\(y = -\frac{15}{2}\)

Таким образом, точка пересечения луча NM с осью y имеет координаты (0, -15/2).

Ответ: точка пересечения луча NM с осями координат имеет координаты (5, 0) и (0, -15/2) соответственно.