4. Когда в треугольнике АВС угол С равен 90° и сторона ВС равна 16, то каков тангенс угла А, который равен 8/15?

Чтобы вычислить тангенс угла А в треугольнике АВС, нам понадобится использовать соотношение тангенса. Тангенс угла определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему катету. В данной задаче известно, что сторона ВС равна 16, а тангенс угла А равен \(\frac{8}{15}\). Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике противолежащий катет является противоположной стороной к углу, а прилежащий катет является смежной стороной к углу.

Используя теорему Пифагора, можем найти длину гипотенузы треугольника АВС. Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В нашем случае, гипотенуза равна стороне ВС. Поэтому, применим теорему Пифагора:
\[AB^2 + BC^2 = AC^2\]
\[AB^2 + 16^2 = AC^2\]

Теперь, обратимся к соотношению тангенса и заменим известные значения:
\(\tan(A) = \frac{AB}{BC} = \frac{AB}{16}\)
\(\tan(A) = \frac{8}{15}\)

Так как \(\tan(A)\) - это отношение противолежащего катета к прилежащему катету, а длина противолежащего катета равна AB, а прилежащего катета равна 16, мы можем записать:
\(\frac{AB}{16} = \frac{8}{15}\)

Для решения этого уравнения нам нужно найти длину стороны AB. Для этого будет необходимо умножить обе стороны уравнения на 16:
\(AB = \frac{8}{15} \cdot 16\)

После упрощения получаем:
\(AB = \frac{128}{15}\)

Таким образом, длина стороны AB равна \(\frac{128}{15}\), и тангенс угла А составляет \(\frac{8}{15}\).