4. Каково среднее значение индукции магнитного поля внутри кольцевой катушки, если ее средний радиус составляет

Чтобы найти среднее значение индукции магнитного поля внутри кольцевой катушки, мы можем использовать закон Био-Савара-Лапласа и формулу для индукции магнитного поля, создаваемого проводником.

Закон Био-Савара-Лапласа гласит, что магнитное поле \(d\vec{B}\), создаваемое элементом проводника с током \(I\), пропорционально длине элемента проводника \(d\vec{l}\) и обратно пропорционально квадрату расстояния \(r\) от элемента проводника до точки, в которой мы измеряем поле:

\[d\vec{B} = \frac{\mu_{0} \cdot I \cdot d\vec{l} \times \vec{r}}{4 \pi r^{3}}\]

Где \(\mu_{0}\) - магнитная постоянная (\(\mu_{0} = 4\pi \cdot 10^{-7} \, \text{Тл}\cdot\text{м/А}\)), \(d\vec{l}\) - векторный элемент длины проводника.

Для кольцевой катушки радиусом \(R\) и количеством витков \(N\), средняя индукция магнитного поля \(B_{\text{ср}}\) может быть найдена путем интегрирования индукции магнитного поля по всем элементам проводника:

\[B_{\text{ср}} = \frac{1}{2 \pi R^2} \cdot \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R} \frac{\mu_{0} \cdot I \cdot r \cdot dr \cdot d\theta}{\left(R^2 + r^2 - 2Rr\cos\theta\right)^{3/2}}\]

В данной задаче у нас есть количественные данные: средний радиус кольцевой катушки \(R = 20 \, \text{см} = 0.2 \, \text{м}\), количество витков \(N = 1000\), относительная магнитная проницаемость сердечника равна \(1\).

Теперь мы можем решить задачу по шагам для школьников, чтобы объяснить ее более подробно:

Шаг 1: Выразим \(d\vec{l}\) в полярных координатах
Мы будем работать в полярных координатах, чтобы упростить интегрирование.

Пусть \(d\vec{l}\) - элемент длины проводника, расположенного на расстоянии \(r\) от центра катушки (в плоскости катушки) и ориентированного под углом \(\theta\) к направлению радиуса катушки.

Тогда \(d\vec{l} = R \, d\theta \, \vec{e_{\theta}}\) (где \(\vec{e_{\theta}}\) - единичный вектор в направлении поворота вокруг оси z).

Шаг 2: Упростим выражение для индукции магнитного поля внутри катушки
Теперь мы можем подставить \(d\vec{l}\) в выражение для индукции магнитного поля и упростить его:

\[d\vec{B} = \frac{\mu_{0} \cdot I \cdot R \, d\theta \, \vec{e_{\theta}} \times \vec{r}}{4 \pi r^{3}} = \frac{\mu_{0} \cdot I \cdot R \, d\theta}{4 \pi r^{2}} \cdot \sin\theta \, \vec{e_{r}}\]

Где \(\vec{e_{r}}\) - единичный вектор направленный от центра катушки к точке, где мы измеряем индукцию магнитного поля.

Шаг 3: Выполним интегрирование
Теперь, заметим что индукция магнитного поля \(B\) обладает симметрией вокруг оси z, поэтому она будет направлена только вдоль оси \(z\) (ось пронизывающая плоскость катушки, перпендикулярная плоскости катушки).

Пусть \( r_{\text{тела}} \) - расстояние от центра катушки до данной точки измерения.

Выражение для \(r\) в пределах интегрирования упрощается до \(r = \sqrt{R^2 + r_{\text{тела}}^2 - 2Rr_{\text{тела}}\cos\theta}\).

Теперь мы можем найти среднюю индукцию магнитного поля \(B_{\text{ср}}\) путем интегрирования \(B\) по всем значениям \(\theta\) и усреднения по всему количеству витков \(N\):

\[B_{\text{ср}} = \frac{1}{2 \pi R^2} \cdot \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R} \frac{\mu_{0} \cdot I \cdot r \cdot dr \cdot d\theta}{\left(R^2 + r^2 - 2Rr\cos\theta\right)^{3/2}}\]

Шаг 4: Найдем численное значение \(B_{\text{ср}}\)
Теперь мы можем подставить известные значения в нашу формулу и вычислить среднее значение индукции магнитного поля внутри кольцевой катушки.

Пожалуйста, укажите значение постоянного тока \(I\), протекающего через витки катушки, чтобы я мог завершить решение задачи.