4. Каково отношение площади поверхности цилиндра к площади его боковой поверхности, если известно, что площадь боковой

Чтобы найти отношение площади поверхности цилиндра к площади его боковой поверхности, мы должны сначала выразить эти площади через известные параметры цилиндра - его радиус \(r\) и высоту \(h\).

Площадь поверхности цилиндра состоит из двух частей: площади его двух оснований и площади его боковой поверхности. Площадь боковой поверхности цилиндра можно вычислить по формуле: \(2 \pi r h\), где \(\pi\) - это число "пи", равное примерно 3,14159.

Теперь у нас есть информация о площади боковой поверхности цилиндра, равной 40 \(\pi\). Мы можем записать это как уравнение: \(2 \pi r h = 40 \pi\).

Теперь давайте решим это уравнение относительно площади поверхности цилиндра. Разделим обе части уравнения на 2\(\pi r\) :

\[
\frac{{2 \pi r h}}{{2 \pi r}} = \frac{{40 \pi}}{{2 \pi r}}
\]

Сокращаем общие части уравнения:

\[
\frac{{\cancel{2 \pi r} h}}{{\cancel{2 \pi r}}} = \frac{{\cancel{40 \pi}}}{{\cancel{2 \pi r}}}
\]

Остается:

\[
h = \frac{{40}}{{r}}
\]

Таким образом, высота цилиндра равна \(h = \frac{{40}}{{r}}\). Зная это значение высоты, мы можем найти отношение площади поверхности цилиндра к площади его боковой поверхности.

Отношение площади поверхности цилиндра к площади его боковой поверхности:

\[
\frac{{\text{{Площадь поверхности цилиндра}}}}{{\text{{Площадь боковой поверхности цилиндра}}}}} = \frac{{2 \pi r^2 + 2 \pi r h}}{{2 \pi r h}}
\]

Подставляем значение высоты цилиндра \(h = \frac{{40}}{{r}}\) в формулу:

\[
\frac{{2 \pi r^2 + 2 \pi r \cdot \frac{{40}}{{r}}}}{{2 \pi r \cdot \frac{{40}}{{r}}}} = \frac{{2 \pi r^2 + 80 \pi}}{{80 \pi}}
\]

Упрощаем выражение:

\[
\frac{{2 \pi r^2 + 80 \pi}}{{80 \pi}} = \frac{{2 \pi (r^2 + 40)}}{{80 \pi}} = \frac{{\cancel{2 \pi} (r^2 + 40)}}{{\cancel{80} 40 \pi}} = \frac{{r^2 + 40}}{{40}}
\]

Таким образом, отношение площади поверхности цилиндра к площади его боковой поверхности равно \(\frac{{r^2+40}}{{40}}\). Это отношение будет зависеть от значения радиуса \(r\) цилиндра.