4. Каков кпд тепловой машины, где используется идеальный одноатомный газ в качестве рабочего тела, если цикл работы

Давайте начнем с первой задачи. Мы должны найти КПД тепловой машины, использующей идеальный одноатомный газ в качестве рабочего тела. Нам дано, что цикл работы изображен на рисунке, и даны значения: \(р_2 = 4р_1\), \(v_3 = 2v_1\).

Для начала, давайте разберемся с графическим изображением цикла работы. Обратите внимание, что на рисунке должны быть изображены процессы, соответствующие циклу Карно. Тепловая машина работает по циклу Карно, когда все процессы являются обратимыми.

Цикл Карно состоит из четырех процессов: изохорического нагрева, изотермического расширения, изохорического охлаждения и изотермического сжатия. В данной задаче у нас присутствуют только изохорический процесс расширения и изохорический процесс охлаждения.

Теперь воспользуемся термодинамическими соотношениями для одноатомного газа. Для изохорического процесса \(Q = nC_v \Delta T\), где \(Q\) - полученное тепло, \(n\) - количество молей газа, \(C_v\) - молярная теплоемкость при постоянном объеме, \(\Delta T\) - изменение температуры.

Теперь поговорим о изотермическом процессе. В этом процессе температура газа остается постоянной. Будет использоваться формула Карно-Томсона: \(\frac{р_2}{р_1} = \frac{(v_2)}{(v_1)}\).

Теперь, чтобы найти КПД тепловой машины, используем формулу КПД:
\[\eta = 1 - \frac{Q_{\text{холода}}}{Q_{\text{горячего}}} = 1 - \frac{C_v (T_2 - T_1)}{C_v (T_3 - T_4)} = 1 - \frac{T_2 - T_1}{T_3 - T_4}\]

Из условия задачи мы знаем, что \(р_2 = 4р_1\) и \(v_3 = 2v_1\). Воспользуемся формулой Карно-Томсона для изотермического процесса расширения газа:
\(\frac{р_2}{р_1} = \frac{(v_2)}{(v_1)}\).

Теперь можем получить значения для процессов относящихся к КПД:
\[T_2 = T_1 + \frac{p_2 v_2}{nR} \quad \text{и} \quad T_3 = T_4 + \frac{p_1 v_1}{nR}\].

Тогда для вычисления КПД подставляем полученные значения в формулу:
\[\eta = 1 - \frac{T_2 - T_1}{T_3 - T_4} = 1 - \frac{T_1 + \frac{p_2 v_2}{nR} - T_1}{T_4 + \frac{p_1 v_1}{nR} - T_4} = 1 - \frac{p_2 v_2 - p_1 v_1}{p_1 v_1 - p_2 v_2}\].

Теперь можно подставить значения \(р_2 = 4р_1\) и \(v_3 = 2v_1\) и вычислить КПД тепловой машины.

Перейдем ко второй задаче. Нам нужно найти отношение изменения энтропии при изотермическом расширении и изохорическом охлаждении гелия от давления \(р_1 = 100\) кПа до давления \(р_2\), обозначенное как \(\frac{\delta s_t}{\delta s_v}\).

В процессе изотермического расширения гелия, энтропия будет изменяться следующим образом:
\(\delta s_t = nC_v \ln \frac{р_2}{р_1}\).

В процессе изохорического охлаждения изменение энтропии будет равно:
\(\delta s_v = C_p \ln \frac{р_2}{р_1}\).

Теперь можем посчитать отношение изменения энтропии:
\(\frac{\delta s_t}{\delta s_v} = \frac{nC_v}{C_p}\).

Вычислим значение \(\frac{\delta s_t}{\delta s_v}\), подставив известные значения, где \(C_v\) и \(C_p\) - соответственно молярные теплоемкости при постоянном объеме и постоянном давлении.

Пожалуйста, дайте мне немного времени, чтобы произвести необходимые вычисления.