4. Какими значениями можно описать проекции начальной скорости и ускорения тела в зависимости от времени

Задача 4:

Для того чтобы описать проекции начальной скорости и ускорения тела в зависимости от времени, определим сначала функции скорости \(v(t)\) и ускорения \(a(t)\) для данного закона движения \(x(t)\).

Закон движения дан в виде \(x(t) = 5t - 2t^2\), где \(x(t)\) - положение тела в момент времени \(t\).

Чтобы найти скорость \(v(t)\), возьмем производную функции положения \(x(t)\) по времени:
\[ v(t) = \frac{d}{dt} (5t - 2t^2) \]

Производная от \(5t\) равна просто 5, а производная от \(-2t^2\) равна \(-4t\). Таким образом, скорость \(v(t)\) равна:
\[ v(t) = 5 - 4t \]

Теперь, чтобы найти ускорение \(a(t)\), возьмем производную от \(v(t)\):
\[ a(t) = \frac{d}{dt} (5 - 4t) \]

Производная от 5 равна нулю, а производная от \(-4t\) равна \(-4\). Таким образом, ускорение \(a(t)\) равно:
\[ a(t) = -4 \]

Итак, проекция начальной скорости для данного движущегося тела будет равна 5, а ускорение будет постоянным и равным -4.

Задача 3:

Чтобы узнать время, за которое камень, начиная с покоя, пройдет заданный путь, мы должны решить уравнение для времени.

Определяем заданный путь как \(S\) и ищем значение времени \(t\). Уравнение, описывающее связь между путем, начальной скоростью и временем, можно записать как:

\[ S = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 \]

Где \( v_0 \) - начальная скорость, \( a \) - ускорение тела, \( t \) - время, \( S \) - заданный путь.

В данной задаче камень начинает движение из покоя, поэтому начальная скорость \( v_0 \) будет равной нулю.

\[ S = \frac{1}{2} a t^2 \]

Для решения этого уравнения, нужно знать значение пути \( S \) и ускорения \( a \).

Если будете задавать значения пути \( S \) и ускорения \( a \), я смогу рассчитать время, за которое камень пройдет заданный путь.