4. Если хорды АС и ВМ пересекаются в точке К, то какова длина отрезка АК и КС, если длина отрезка МК составляет

Данная задача основана на свойствах пересекающихся хорд в окружности. Давайте разберемся пошагово.

1. Первым шагом, нам нужно разобраться с данными, которые у нас уже есть. Дано, что отрезок МК равен 4 сантиметрам, отрезок ВК равен 6 сантиметрам, а отрезок СК на 5 сантиметров больше отрезка КМ.

2. Обозначим длину отрезка АК как \(х\) сантиметров. Также, обозначим длину отрезка КС как \(х + 5\) сантиметров.

3. Теперь, давайте используем одно из свойств пересекающихся хорд в окружности - произведение отрезков будет одинаковым. То есть, \(АК \times КС = ВК \times КМ\).

4. Подставим в данное уравнение численные значения, которые у нас есть. Таким образом, \(х \times (х + 5) = 6 \times 4\).

5. Упростим уравнение. Раскрываем скобки: \(х^2 + 5х = 24\).

6. Теперь перенесем все члены в одну сторону и получим квадратное уравнение: \(х^2 + 5х - 24 = 0\).

7. Решим данное уравнение с помощью факторизации, полного квадрата или квадратного корня. Мы воспользуемся факторизацией. Разложим уравнение на множители: \((х - 3) \times (х + 8) = 0\).

8. Значит, у нас есть два решения уравнения: \(х - 3 = 0\) или \(х + 8 = 0\).

9. Решим каждое уравнение отдельно. Решение первого уравнения: \(х = 3\). Решение второго уравнения: \(х = -8\).

10. Ответом на задачу будет положительное значение длины отрезка \(АК\), поэтому отбрасываем значение -8 и оставляем только \(х = 3\).

Таким образом, длина отрезка АК равна 3 сантиметрам, а длина отрезка КС равна 8 сантиметрам (так как \(х + 5 = 3 + 5 = 8\)).