❤️❤️❤️ 4. Докажите, что треугольник ПМК является прямоугольным, если его вершины имеют координаты P(-1;5;3), M(-1;-3;9

Для доказательства того, что треугольник ПМК является прямоугольным, мы должны проверить, что квадрат длины одной из сторон равен сумме квадратов длин двух других сторон.

Для этого нам понадобятся следующие шаги:

Шаг 1: Найдите длины всех трех сторон треугольника ПМК, используя формулу расстояния между точками в трехмерном пространстве.

Для стороны ПМ, используем точки P(-1;5;3) и M(-1;-3;9):
\[d_{PM} = \sqrt{(-1 - (-1))^2 + (5 - (-3))^2 + (3 - 9)^2} = \sqrt{0^2 + 8^2 + (-6)^2} = \sqrt{0 + 64 + 36} = \sqrt{100} = 10\]

Для стороны ПК, используем точки P(-1;5;3) и K(3;-2;6):
\[d_{PK} = \sqrt{(-1 - 3)^2 + (5 - (-2))^2 + (3 - 6)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 7^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 49 + 9} = \sqrt{74}\]

Для стороны МК, используем точки M(-1;-3;9) и K(3;-2;6):
\[d_{MK} = \sqrt{(-1 - 3)^2 + (-3 - (-2))^2 + (9 - 6)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 1 + 9} = \sqrt{26}\]

Шаг 2: Проверьте, выполняется ли теорема Пифагора для треугольника ПМК. В теореме Пифагора квадрат длины гипотенузы (самой длинной стороны) равен сумме квадратов длин двух катетов (двух более коротких сторон).

Мы сравниваем длины сторон стороны ПМ, ПК и МК:

\[d_{PM}^2 = (10)^2 = 100\]
\[d_{PK}^2 + d_{MK}^2 = (\sqrt{74})^2 + (\sqrt{26})^2 = 74 + 26 = 100\]

Таким образом, выполняется теорема Пифагора, и мы доказали, что треугольник ПМК является прямоугольным.

Шаг 3: Найдите длину медианы, проведенной из вершины прямого угла треугольника. Медиана, проведенная из вершины прямого угла, является половиной гипотенузы и проходит через середину этой гипотенузы.

Мы знаем, что сторона ПМ является гипотенузой, поэтому длина медианы будет равна половине длины стороны ПМ.

\[Длина\ медианы = \frac{d_{PM}}{2} = \frac{10}{2} = 5\]

Таким образом, длина медианы, проведенной из вершины прямого угла треугольника ПМК, равна 5.

Надеюсь, это решение помогло вам понять, как доказать, что треугольник ПМК является прямоугольным, и как найти длину медианы. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.