На сторонах AB и AC треугольника ABC взяли точки E и K соответственно, такие что AE:EB = 1:4 и BK:KC = 2:3. В каком

Для решения этой задачи нам понадобятся знания о свойствах треугольников и их медианах.

Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Пусть точка M - середина стороны BC треугольника ABC, и пусть точка P - точка пересечения медианы BM и отрезка AE.

Теперь давайте рассмотрим отношение, в котором медиана BM делит отрезок AP.

По теореме Фалеса мы знаем, что если две параллельные прямые пересекаются отрезком, то их отрезки, представленные на этом пересекающемся отрезке, соотносятся между собой так же, как соответствующие отрезки на параллельных прямых.

В нашем случае отрезок BK параллелен отрезку EC (по заданию), поэтому мы можем применить теорему Фалеса к треугольнику ABC и отрезку AP:

\[\frac{BP}{PM} = \frac{AE}{EC}\]

Из условия задачи, мы знаем, что \(\frac{AE}{EB} = \frac{1}{4}\) и \(\frac{BK}{KC} = \frac{2}{3}\).

Также, поскольку точка M - середина стороны BC, отношение BM к MC равно 1:1.

Рассмотрим отношение AE к EC:

\(\frac{AE}{EC} = \frac{AE}{EB + BC + CK}\)
\(\frac{AE}{EC} = \frac{1}{\frac{1}{4} + 1 + \frac{2}{3}}\) (здесь мы подставляем значения отрезков EB и CK, соответственно, по заданию)
\(\frac{AE}{EC} = \frac{1}{\frac{3}{4} + \frac{4}{4} + \frac{8}{12}}\)
\(\frac{AE}{EC} = \frac{1}{\frac{3 + 4 + 8}{12}}\)
\(\frac{AE}{EC} = \frac{1}{\frac{15}{12}}\)
\(\frac{AE}{EC} = \frac{1}{\frac{5}{4}}\)
\(\frac{AE}{EC} = \frac{4}{5}\)

Теперь мы можем подставить это значение в наше первоначальное уравнение:

\(\frac{BP}{PM} = \frac{AE}{EC}\)
\(\frac{BP}{PM} = \frac{4}{5}\)

Итак, медиана BM делит отрезок AP в отношении 4:5.

Мы учитывали все данные из условия задачи и предоставили подробное объяснение каждого шага решения. Если у вас остались вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задать их!