4.1. На сколько нужно было бы увеличить массу двух электронов, чтобы сила их отталкивания компенсировала силу

4.1. Для решения этой задачи необходимо уравновесить силу отталкивания электронов с силой гравитационного притяжения. Сила отталкивания между двумя электронами определяется законом Кулона и выражается формулой:

\[F_r = \dfrac{{k \cdot q^2}}{{r^2}}\]

где \(F_r\) - сила отталкивания (которую необходимо скомпенсировать), \(k\) - электростатическая постоянная (\(9 \cdot 10^9 \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2\)), \(q\) - заряд электрона (\(1,6 \cdot 10^{-19} \, \text{Кл}\)), и \(r\) - расстояние между электронами (то есть половина междуядерного расстояния атома, которое равно приблизительно \(1,2 \cdot 10^{-10} \, \text{м}\)).

Сила гравитационного притяжения между двумя электронами можно вычислить по формуле:

\[F_g = G \cdot \dfrac{{m^2}}{{r^2}}\]

где \(F_g\) - сила гравитационного притяжения (которая должна быть скомпенсирована), \(G\) - гравитационная постоянная (\(6,67 \cdot 10^{-11} \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2\)), \(m\) - масса одного электрона (\(9,1 \cdot 10^{-31} \, \text{кг}\)), и \(r\) - расстояние между электронами (\(1,2 \cdot 10^{-10} \, \text{м}\)).

Для того чтобы сила отталкивания и сила гравитационного притяжения были равными, мы должны приравнять формулы \(F_r\) и \(F_g\) и решить уравнение относительно массы \(m_1\) одного из электронов:

\[\dfrac{{k \cdot q^2}}{{r^2}} = G \cdot \dfrac{{m_1^2}}{{r^2}}\]

Решаем уравнение:

\[\dfrac{{k \cdot q^2}}{{r^2}} = G \cdot \dfrac{{m_1^2}}{{r^2}}\]

\[\dfrac{{k \cdot q^2}}{{r^2}} \cdot \dfrac{{r^2}}{{m_1^2}} = G\]

\[k \cdot q^2 = G \cdot m_1^2\]

\[m_1^2 = \dfrac{{k \cdot q^2}}{{G}}\]

\[m_1 = \sqrt{\dfrac{{k \cdot q^2}}{{G}}}\]

Подставляем значения:

\[m_1 = \sqrt{\dfrac{{(9 \cdot 10^9 \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2) \cdot (1,6 \cdot 10^{-19} \, \text{Кл})^2}}{{6,67 \cdot 10^{-11} \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2}}}\]

Рассчитываем:

\[m_1 \approx 9,11 \cdot 10^{-31} \, \text{кг}\]

Таким образом, чтобы сила отталкивания двух электронов скомпенсировала силу гравитационного притяжения, массу каждого электрона нужно увеличить на \(9,11 \cdot 10^{-31} \, \text{кг}\).

4.2. Чтобы найти ускорение электрона, помещенного в точке посередине между двумя центрами маленьких шариков с зарядами, мы можем использовать закон Кулона и второй закон Ньютона.

Сила электростатического взаимодействия между электроном и каждым из шариков может быть вычислена с использованием закона Кулона. Для этого используем формулу:

\[F = \dfrac{{k \cdot |q_1| \cdot |q_2|}}{{r^2}}\]

где \(F\) - сила электростатического взаимодействия, \(k\) - электростатическая постоянная (\(9 \cdot 10^9 \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2\)), \(q_1\) и \(q_2\) - заряды шариков (\(96 \cdot 10^{-9} \, \text{Кл}\) и \(64 \cdot 10^{-9} \, \text{Кл}\) соответственно), и \(r\) - расстояние между электроном и каждым из шариков (\(1 \, \text{см}\)).

Сила, действующая на электрона, равна сумме сил, действующих на него от каждого шарика:

\[F_{\text{итог}} = F_1 + F_2\]

\[F_{\text{итог}} = \dfrac{{k \cdot |q| \cdot |q_1|}}{{r^2}} + \dfrac{{k \cdot |q| \cdot |q_2|}}{{r^2}}\]

где \(|q|\) - абсолютная величина заряда электрона (\(1,6 \cdot 10^{-19} \, \text{Кл}\)).

Подставляем значения:

\[F_{\text{итог}} = \dfrac{{(9 \cdot 10^9 \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2) \cdot (1,6 \cdot 10^{-19} \, \text{Кл}) \cdot (96 \cdot 10^{-9} \, \text{Кл})}}{{(0,02 \, \text{м})^2}} + \dfrac{{(9 \cdot 10^9 \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2) \cdot (1,6 \cdot 10^{-19} \, \text{Кл}) \cdot (64 \cdot 10^{-9} \, \text{Кл})}}{{(0,02 \, \text{м})^2}}\]

Рассчитываем:

\[F_{\text{итог}} \approx 0,0448 \, \text{Н}\]

Затем применяем второй закон Ньютона:

\[F_{\text{итог}} = m \cdot a\]

где \(m\) - масса электрона (\(9,1 \cdot 10^{-31} \, \text{кг}\)), и \(a\) - ускорение электрона.

Решаем уравнение относительно ускорения:

\[a = \dfrac{{F_{\text{итог}}}}{m}\]

Подставляем значения:

\[a = \dfrac{{0,0448 \, \text{Н}}}{{9,1 \cdot 10^{-31} \, \text{кг}}}\]

Рассчитываем:

\[a \approx 4,92 \cdot 10^{30} \, \text{м/с}^2\]

Таким образом, ускорение электрона, помещенного в точку посередине между двумя центрами маленьких шариков с зарядами 96 нКл и 64 нКл, будет \(4,92 \cdot 10^{30} \, \text{м/с}^2\).

4.3. Чтобы найти силу, действующую между двумя одинаково заряженными маленькими шариками, мы также можем использовать закон Кулона:

\[F = \dfrac{{k \cdot |q^2|}}{{r^2}}\]

где \(F\) - сила взаимодействия между шариками, \(k\) - электростатическая постоянная (\(9 \cdot 10^9 \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2\)), \(q\) - заряд каждого из шариков (они одинаковы), и \(r\) - расстояние между шариками (\(0,1 \, \text{м}\)).

Мы можем решить уравнение относительно заряда \(q\), если известна сила взаимодействия \(F\) между шариками:

\[F = \dfrac{{k \cdot |q^2|}}{{r^2}}\]

\[|q^2| = \dfrac{{F \cdot r^2}}{k}\]

\[|q| = \sqrt{\dfrac{{F \cdot r^2}}{k}}\]

Подставляем значения:

\[|q| = \sqrt{\dfrac{{(4,466 \cdot 10^{-6} \, \text{Н}) \cdot (0,1 \, \text{м})^2}}{{9 \cdot 10^9 \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2}}}\]

Рассчитываем:

\[|q| \approx 2 \cdot 10^{-6} \, \text{Кл}\]

Таким образом, сила, действующая между двумя одинаково заряженными маленькими шариками на расстоянии 10 см, если они отталкиваются с силой 4,466 мкН, будет равной \(2 \cdot 10^{-6} \, \text{Кл}\).