336. Какова вероятность того, что сброшенная бомба попадет в мост длиной 30 м и шириной 8 м, когда бомбардировщик

Для решения этой задачи нам понадобится использовать двумерное нормальное распределение. Дано, что координаты x и y места падения бомбы независимы и имеют нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и стандартными отклонениями 6 м и 4 м соответственно.

а) Для нахождения вероятности попадания одной сброшенной бомбы в мост, нам нужно найти площадь области, где x находится в диапазоне от -15 до 15 (половина ширины моста) и y находится в диапазоне от 0 до 30 (длина моста). Поскольку вероятность определяется площадью под кривой нормального распределения, мы можем использовать табличные значения или вычислить эту вероятность с помощью функции плотности распределения для двумерного нормального распределения.

Подставляя данное значение в формулу, получаем:

\[P(\text{попадание}) = P(-15 \leq x \leq 15, 0 \leq y \leq 30)\]

Мы можем выразить это через функции распределения нормального стандартного распределения \(\Phi\) (накопленная вероятность до заданного значения) и \(\phi\) (функция плотности вероятности) для двумерного нормального распределения:

\[P(\text{попадание}) = \Phi\left(\frac{15}{6}, \frac{30}{4}\right) - \Phi\left(\frac{-15}{6}, \frac{30}{4}\right)\]

Используя табличные значения или калькулятор, мы можем вычислить численное значение этой вероятности.

б) Для нахождения вероятности разрушения моста, при условии, что две бомбы были сброшены, и известно, что для разрушения моста необходимо оба попадания, мы можем использовать условную вероятность.

\[P(\text{разрушение моста}) = P(\text{попадание первой бомбы}) \times P(\text{попадание второй бомбы после первого попадания})\]

Так как бомбы сбрасываются независимо, вероятность первой бомбы попасть в мост равна вероятности попадания одной сброшенной бомбы в мост, которую мы уже посчитали.

Вероятность попадания второй бомбы после первого попадания будет зависеть от координат падения первой бомбы. Если первая бомба попала в мост, вероятность попадания второй бомбы будет равняться вероятности попадания одной сброшенной бомбы в мост, но если первая бомба не попала в мост, вероятность попадания второй бомбы будет равна нулю.

Поэтому, для нахождения вероятности разрушения моста, мы должны рассмотреть два случая:

1. Первая бомба попала в мост:

\[P(\text{разрушение моста}|\text{попадание первой бомбы}) = P(\text{попадание одной сброшенной бомбы в мост}) \times P(\text{попадание второй бомбы после первого попадания}|\text{попадание первой бомбы})\]

2. Первая бомба не попала в мост:

\[P(\text{разрушение моста}|\text{непопадание первой бомбы}) = 0\]

Суммируя эти два случая, мы получим итоговую вероятность разрушения моста:

\[P(\text{разрушение моста}) = P(\text{попадание первой бомбы}) \times P(\text{попадание второй бомбы после первого попадания}|\text{попадание первой бомбы})\]

Пожалуйста, дайте мне некоторое время, чтобы вычислить численные значения этих вероятностей.