Какие значения параметра a делают уравнение (a+8)sin2x=a^2/4-8 равным числу ПИ/12? В ответе напишите сумму этих

Для начала, мы можем решить данное уравнение, чтобы найти значения параметра a, при которых оно будет равным числу \(\frac{\pi}{12}\). Воспользуемся пошаговым решением, чтобы ученик смог легче понять процесс.

Шаг 1: Раскроем левую часть уравнения, используя формулу двойного угла для синуса.

\((a+8)\sin(2x) = \frac{a^2}{4} - 8\)
\(2(a+8)\sin(x)\cos(x) = \frac{a^2}{4} - 8\)
\(2(a+8)\cdot2\sin(x)\cos(x) = \frac{a^2}{4} - 8\) - теперь у нас есть удвоенный угол

Шаг 2: Подставим формулы для синуса и косинуса и упростим уравнение.

\(4(a+8)\sin(x)\cos(x) = \frac{a^2}{4} - 8\)
\(2(a+8)\cdot2\cdot\frac{1}{2}\cdot\sin(2x) = \frac{a^2}{4} - 8\) - заменили синус двойного угла

Шаг 3: Упростим уравнение ещё немного.

\((a+8)\sin(2x) = \frac{a^2}{8} - 8\)

Шаг 4: Подставим числовое значение \(\frac{\pi}{12}\) вместо \(\sin(2x)\).

\((a+8)\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{a^2}{8} - 8\)
\((a+8)\cdot\frac{1}{2} = \frac{a^2}{8} - 8\) - заменили значение синуса

Шаг 5: Решим получившееся уравнение.

\(\frac{1}{2}(a+8) = \frac{a^2}{8} - 8\)
\(4(a+8) = a^2 - 64\)
\(4a + 32 = a^2 - 64\)
\(a^2 - 4a - 96 = 0\) - привели квадратное уравнение к стандартному виду

Шаг 6: Решим получившееся квадратное уравнение.

\((a - 12)(a + 8) = 0\)

Используя формулу \(D = b^2 - 4ac\), мы можем найти дискриминант этого квадратного уравнения:

\(D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-96) = 16 + 384 = 400\)

Теперь, найдем корни уравнения, используя формулу \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\):

\(a_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{400}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 20}{2} = \frac{24}{2} = 12\)

\(a_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{400}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 20}{2} = \frac{-16}{2} = -8\)

Таким образом, мы нашли два значения параметра a, при которых исходное уравнение равно \(\frac{\pi}{12}\): \(a_1 = 12\) и \(a_2 = -8\).

Теперь осталось найти сумму этих значений:
\(\sum_{i=1}^{2} a_i = 12 + (-8) = 4\)

Так что, правильный ответ на задачу: В) 2.