33 (14) Олегу дали новый альбом для марок. Он попытался разложить все свои марки в новый альбом таким образом, чтобы

Давайте решим эту задачу пошагово.

1. Предположим, что у Олега имеется \( x \) марок.
2. Согласно условию задачи, мы знаем, что на каждой странице альбома должно быть одинаковое количество марок (кроме последней заполненной страницы) при различных способах размещения марок.
3. Если он разложит марки по 8 штук на странице, то количество страниц в альбоме будет \(\frac{x}{8}\), и последняя заполненная страница будет содержать \(8 - 1 = 7\) марок.
4. Следующий случай: Олег разложит марки по 6 штук на странице. В этом случае количество страниц в альбоме будет \(\frac{x}{6}\), и последняя заполненная страница будет содержать \(6 - 1 = 5\) марок.
5. В последней попытке Олег разложит марки по 5 штук на странице. Количество страниц в альбоме будет \(\frac{x}{5}\), и на каждой заполненной странице будет одинаковое количество марок.
6. Воспользуемся информацией из предыдущих пунктов: \(\frac{x}{8}\), \(\frac{x}{6}\), и \(\frac{x}{5}\) должны представлять целые числа страниц.
7. Обратим внимание, что наибольшее возможное значение числителя в этих трех выражениях - это само число марок \( x \), поскольку мы знаем, что марок не больше 120.
8. Разложим число \( x \) на множители: \( x = 2^n \cdot 3^m \cdot 5^k \), где \( n \), \( m \), и \( k \) - это натуральные числа.
9. Чтобы \(\frac{x}{8}\) было целым числом, нужно, чтобы число марок \( x \) делилось на 8, то есть \( (2 \cdot 2^2)^n \cdot 3^m \cdot 5^k \). Значит, \( n \geq 3 \).
10. Чтобы \(\frac{x}{6}\) было целым числом, нужно, чтобы число марок \( x \) делилось на 6, то есть \( 2^n \cdot 3 \cdot 5^k \). Значит, \( m = 1 \).
11. Чтобы \(\frac{x}{5}\) было целым числом, нужно, чтобы число марок \( x \) делилось на 5, то есть \( 2^n \cdot 3^m \cdot 5 \). Значит, \( k = 1 \).
12. Воспользуемся ограничением задачи, что число марок не превышает 120. Подставим в точку 8 найденные значения и найдем максимальное значение числа марок:
\( x = (2^3 \cdot 3 \cdot 5)^n = 120^n \).
13. Чтобы найти самое большое n, удовлетворяющее ограничению, воспользуемся делением 120 на 2. Получим \( 120 / 2 = 60 \), \( 60 / 2 = 30 \), \( 30 / 2 = 15 \). Максимальное значенией n – это 3. То есть, \( x = 120^3 \).
14. Ответ: у Олега 19200 марок.

Надеюсь, объяснение было понятным и детальным. Если возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задать!