30. Какое отношение радиуса вписанной окружности к радиусу описанной окружности квадрата равно: а) √2/2; б) 2

Чтобы решить эту задачу, нам понадобятся некоторые знания о свойствах окружностей и квадратов. Давайте рассмотрим каждую часть задачи по порядку.

а) Отношение радиуса вписанной окружности к радиусу описанной окружности квадрата равно \(\frac{{\sqrt{2}}}{{2}}\).

Для начала, нам нужно понять, что такое вписанная и описанная окружности. Вписанная окружность - это окружность, которая касается всех сторон квадрата внутри него. Описанная окружность - это окружность, которая проходит через все вершины квадрата.

Давайте представим, что у нас есть квадрат со стороной \(a\). Радиус вписанной окружности будет равен половине стороны квадрата, то есть \(r_{впис} = \frac{a}{2}\). А радиус описанной окружности будет равен половине диагонали квадрата, которая, в свою очередь, равна \(a\sqrt{2}\), поэтому \(r_{опис} = \frac{a\sqrt{2}}{2}\).

Теперь найдем отношение радиусов: \(\frac{{r_{впис}}}{{r_{опис}}} = \frac{{\frac{a}{2}}}{{\frac{a\sqrt{2}}{2}}} = \frac{{a}}{{a\sqrt{2}}} = \frac{1}{{\sqrt{2}}} = \frac{{\sqrt{2}}}{{2}}\).

Ответ: а) \(\frac{{\sqrt{2}}}{{2}}\).

б) Отношение радиуса вписанной окружности к радиусу описанной окружности правильного шестиугольника равно \(\sqrt{3}\).

Для решения этого вопроса нам понадобятся знания о свойствах правильных многоугольников. Правильный шестиугольник - это шестиугольник, все стороны которого равны и все углы равны.

Представим, что у нас есть правильный шестиугольник, описанный около окружности радиусом \(r_{опис}\) и вписанный в окружность радиусом \(r_{впис}\).

Из свойств правильного шестиугольника известно, что радиус описанной окружности равен \(r_{опис} = r_{впис}\sqrt{3}\).

Теперь найдем отношение радиусов: \(\frac{{r_{впис}}}{{r_{опис}}} = \frac{{r_{впис}}}{{r_{впис}\sqrt{3}}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}\).

Ответ: б) \(\sqrt{3}\).

в) Отношение радиуса вписанной окружности к радиусу описанной окружности квадрата равно \(\frac{{\sqrt{2}}}{{2}}\).

Данный ответ уже был получен ранее в части а) решения задачи.

Ответ: в) \(\frac{{\sqrt{2}}}{{2}}\).