3) Является ли число 128 членом арифметической прогрессии, которая начинается с -5 и имеет шаг -2? Если ответ

Задача 3:
Для определения, является ли число 128 членом арифметической прогрессии с начальным членом -5 и шагом -2, нам необходимо проверить, выполняется ли условие арифметической прогрессии.

Формула общего члена арифметической прогрессии (an) выглядит следующим образом:
\[a_n = a_1 + (n-1) \cdot d\]

где \(a_1\) - начальный член прогрессии, \(n\) - номер члена прогрессии, \(d\) - шаг прогрессии.

В нашем случае:
\(a_1 = -5\), \(d = -2\), и мы ищем, является ли число 128 членом прогрессии.

Подставим значения в формулу и найдем номер нужного члена прогрессии:
\[128 = -5 + (n - 1) \cdot (-2)\]

Раскроем скобки и упростим уравнение:
\[128 = -5 - 2n + 2\]

Сократим подобные элементы:
\[128 = -3 - 2n\]

Перенесем -3 на другую сторону уравнения:
\[2n = -3 - 128\]

Сложим числа и получим:
\[2n = -131\]

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти \(n\):
\[n = \dfrac{-131}{2}\]

Теперь мы можем проверить, является ли ответ целым числом. Если да, то число 128 является членом арифметической прогрессии с начальным членом -5 и шагом -2, иначе - нет.

Ответ: Число 128 не является членом данной арифметической прогрессии.

Задача 4:
а) Для нахождения первого члена и разности арифметической прогрессии, мы можем использовать формулы для общего члена арифметической прогрессии (an) и для \(n\)-го члена вида (bn):

Общий член арифметической прогрессии:
\[a_n = a_1 + (n-1) \cdot d\]

\(n\)-й член арифметической прогрессии:
\[b_n = a_1 + (n-1) \cdot d\]

В нашем случае, даны \(b_1 = 4.9\) и \(b_{17} = 10.9\).

Подставим значения в формулу и составим два уравнения:
\[4.9 = a_1 + (1-1) \cdot d\]
\[10.9 = a_1 + (17-1) \cdot d\]

Упростим первое уравнение:
\[4.9 = a_1\]

Теперь второе уравнение:
\[10.9 = a_1 + 16d\]

Выразим \(a_1\) из первого уравнения и подставим его во второе уравнение:
\[10.9 = 4.9 + 16d\]

Вычтем 4.9 из обеих частей уравнения:
\[6 = 16d\]

Разделим обе части уравнения на 16, чтобы найти значение \(d\):
\[d = \dfrac{6}{16}\]

Теперь, используя найденное значение для \(d\), подставим его в первое уравнение и найдем значение \(a_1\):
\[4.9 = a_1\]

Ответ: Первый член прогрессии равен 4.9, а разность прогрессии равна \(\dfrac{6}{16}\).

б) Чтобы найти количество членов прогрессии, меньших данного числа, нам необходимо найти значение \(n\), для которого выполняется неравенство \(b_1 + (n-1) \cdot d < x\), где \(x\) - данное число.

В данной задаче, для простоты рассуждений, предположим, что данное число \(x = 15\).

Подставим значения в неравенство:
\[4.9 + (n-1) \cdot \dfrac{6}{16} < 15\]

Упростим неравенство:
\[4.9 + \dfrac{6}{16}n - \dfrac{6}{16} < 15\]

Перенесем числа на другую сторону и упростим выражение:
\[\dfrac{6}{16}n < 15 - 4.9 + \dfrac{6}{16}\]

Сложим числа и упростим:
\[\dfrac{6}{16}n < 10.1 + \dfrac{6}{16}\]

Общий знаменатель:
\[\dfrac{6}{16}n < \dfrac{161}{16}\]

Умножим обе части неравенства на 16, чтобы избавиться от знаменателя:
\[6n < 161\]

Делим обе части неравенства на 6, чтобы найти значение \(n\):
\[n < \dfrac{161}{6}\]

Выразим десятичную дробь в виде смешанной дроби:
\[n < 26 \dfrac{5}{6}\]

Ответ: Количество членов прогрессии, меньших числа 15, равно 26 членов и 5/6 члена.