3. В параллелограмме ABCD, где B(3;2), O(0;0) и ОА = 6, нужно найти значениия AC, OC и координаты вершины C с помощью

Чтобы найти значения AC и OC, а также координаты вершины C в параллелограмме ABCD, давайте воспользуемся геометрическими свойствами параллелограмма.

1. Зная, что параллелограмм ABCD является параллелограммом, мы можем установить, что сторона AB параллельна стороне CD и сторона BC параллельна стороне AD. Также противоположные стороны параллелограмма равны по длине, что означает, что AB = CD и BC = AD.

2. Координаты вершины B даны - B(3;2).

3. Также дано, что O(0;0) и OA = 6. Это означает, что координаты точки A можно найти, зная, что они лежат на отрезке с началом в точке O(0;0) и концом в точке B(3;2) длиной 6. Для этого нам нужно использовать пропорцию расстояний на отрезке. Расстояние между точками O и A равно OA, а расстояние между точками O и B равно OB.

4. Сначала найдем расстояние между точками O и B:
\[OB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]
\[OB = \sqrt{(3 - 0)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}\]

5. Теперь, используя пропорцию расстояний на отрезке, мы можем найти координаты точки A:
\[\frac{OA}{OB} = \frac{AB}{BC}\]
\[\frac{6}{\sqrt{13}} = \frac{AB}{BC}\]

Так как AB = CD и BC = AD, мы можем записать:
\[\frac{6}{\sqrt{13}} = \frac{AB}{AD}\]

Заметим, что AD = 12 (так как BC = AD), поэтому:
\[\frac{6}{\sqrt{13}} = \frac{AB}{12}\]
\[AB = \frac{6 \cdot 12}{\sqrt{13}} = \frac{72}{\sqrt{13}}\]

6. Так как AB = CD и BC = AD, мы можем заключить, что AC = AB и OC = OB. Следовательно:
\[AC = AB = \frac{72}{\sqrt{13}}\]
\[OC = OB = \sqrt{13}\]

7. Для нахождения координат точки C мы можем воспользоваться свойствами параллелограмма:
\[C = B - A + D\]
\[C(x_C; y_C) = B(x_B; y_B) - A(x_A; y_A) + D(x_D; y_D)\]

В нашем случае:
\[C(x_C; y_C) = B(3;2) - A(x_A; y_A) + D(x_D; y_D)\]
\[C(x_C; y_C) = B(3;2) - A(x_A; y_A) + B(3;2) - C(x_C; y_C)\]

Решим уравнение, чтобы выразить x_C и y_C:
\[2x_C = 6 - x_A\]
\[2y_C = 4 - y_A\]

Теперь подставим полученные значения в пару уравнений:
\[2x_C = 6 - x_A\]
\[2y_C = 4 - y_A\]

Используя ранее найденные значения для AB и OA, мы можем выразить x_A и y_A:
\[x_A = 3 - \frac{72}{\sqrt{13}}\]
\[y_A = 2 - \frac{36}{\sqrt{13}}\]

Подставим эти значения в уравнения для координат точки C:
\[2x_C = 6 - \left(3 - \frac{72}{\sqrt{13}}\right)\]
\[2y_C = 4 - \left(2 - \frac{36}{\sqrt{13}}\right)\]

Рассчитав значения, получим:
\[x_C = \frac{66}{\sqrt{13}}\]
\[y_C = \frac{40}{\sqrt{13}}\]

Таким образом, мы нашли значения AC, OC и координаты вершины C в параллелограмме ABCD.
AC = \(\frac{72}{\sqrt{13}}\), OC = \(\sqrt{13}\), вершина C имеет координаты C(\(\frac{66}{\sqrt{13}}\); \(\frac{40}{\sqrt{13}}\)).