3) Найдите: а) длину диагонали куба б) площадь поверхности куба в) объем куба, если площадь диагонального сечения равна

Хорошо, давайте начнем с задачи номер 3.

а) Для нахождения длины диагонали куба, мы можем использовать теорему Пифагора. Пусть сторона куба равна \(a\). Так как диагональ куба проходит через его центр, она будет располагаться между двумя противоположными вершинами куба. Так как у куба все стороны равны, длина диагонали будет равна гипотенузе прямоугольного треугольника со сторонами \(a\), \(a\) и \(a\). Применяя теорему Пифагора, мы получим:

\[
\text{длина диагонали} = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}
\]

Таким образом, длина диагонали куба равна \(a\sqrt{3}\).

б) Чтобы найти площадь поверхности куба, мы можем вычислить площади всех его граней и сложить их. У куба 6 граней, и каждая грань является квадратом со стороной \(a\). Площадь каждой грани равна \(a^2\), поэтому общая площадь поверхности будет равна:

\[
\text{площадь поверхности} = 6a^2
\]

в) Для нахождения объема куба, мы можем воспользоваться формулой объема куба, которая равна \(a^3\). Однако, у нас дана площадь диагонального сечения. Чтобы решить задачу, нам необходимо найти длину ребра \(a\) куба.

Площадь диагонального сечения дана как \(400\sqrt{2} \: \text{см}^2\). Подставим это значение в формулу площади диагонального сечения куба, которая равна \(a^2\sqrt{2}\):

\[
a^2\sqrt{2} = 400\sqrt{2} \Rightarrow a^2 = 400 \Rightarrow a = \sqrt{400} = 20
\]

Теперь, когда мы знаем длину ребра куба \(a\), мы можем найти его объем, подставив эту величину в формулу объема куба:

\[
\text{объем} = a^3 = 20^3 = 8000 \: \text{см}^3
\]

Итак, длина диагонали куба равна \(20\sqrt{3}\), площадь его поверхности равна \(6 \times 20^2 = 2400\) см², а объем составляет 8000 см³.

Перейдем теперь к задаче номер 4.

Для нахождения длины наибольшей диагонали призмы, нам необходимо знать ее размеры в трехмерном пространстве. Вы говорите, что верхнее основание призмы имеет длины сторон 2 см и 3 см, а наибольший угол равен 120 градусам. Я предполагаю, что мы говорим о ромбовидной призме, так как параллелограммальное основание в этом случае подразумевает прямые углы между сторонами основания и боковыми гранями, и 120 градусов не соответствуют этому условию.

Таким образом, пусть длины сторон ромбовидного основания равны 2 см и 3 см. Для нахождения длины наибольшей диагонали призмы, нам необходимо найти длину диагонали ромба, и затем использовать эту величину в формуле для диагоналей призмы.

Для нахождения длины диагонали ромба, мы можем применить теорему косинусов. Пусть \(d\) - длина диагонали ромба, \(a\) и \(b\) - длины сторон ромба (2 см и 3 см соответственно), угол между сторонами \(a\) и \(b\) равен 120 градусам. Тогда согласно теореме косинусов:

\[
d^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\text{угол})
\]

\[
d^2 = 2^2 + 3^2 - 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cos(120^\circ)
\]

\[
d^2 = 4 + 9 - 12 \cdot \frac{-1}{2}
\]

\[
d^2 = 13 + 6 = 19
\]

\[
d = \sqrt{19}
\]

Теперь, когда мы знаем длину диагонали ромба, мы можем использовать ее вместе с высотой призмы (6 см) в формуле для диагоналей призмы:

\[
\text{длина наибольшей диагонали призмы} = \sqrt{d^2 + \text{высота}^2} = \sqrt{19 + 6^2} = \sqrt{19 + 36} = \sqrt{55}
\]

Таким образом, длина наибольшей диагонали призмы составляет \(\sqrt{55}\) см.

Чтобы найти тангенс угла, который диагональ призмы образует с плоскостью основания, нам необходимо знать длины сторон ромбовидного основания, высоту призмы и длину наибольшей диагонали. Поскольку мы уже найден длину наибольшей диагонали (\(\sqrt{55}\) см), то нам остается найти тангенс угла. По определению, тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету. Противолежащим катетом является высота призмы (6 см), а прилежащим катетом является половина наибольшей диагонали ромба (\(\frac{\sqrt{55}}{2}\) см). Тогда тангенс угла равен:

\[
\tan(\text{угол}) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{6}{\frac{\sqrt{55}}{2}} = \frac{12}{\sqrt{55}}
\]

Итак, тангенс угла, который диагональ призмы образует с плоскостью основания, равен \(\frac{12}{\sqrt{55}}\).