Каковы координаты центра c и радиус r круга, который вписан в треугольник с уравнениями x+y+12=0, 7x+y=0 и 7x-y+28=0?

Чтобы найти координаты центра \(c\) и радиус \(r\) круга, который вписан в треугольник с данными уравнениями, мы можем воспользоваться методом, основанным на свойствах вписанного круга.

1. Найдем точки пересечения всех трех данных прямых, так как эти точки лежат на сторонах треугольника.

Для этого, решим систему уравнений:
\[
\begin{cases}
x+y+12=0 \\
7x+y=0 \\
7x-y+28=0 \\
\end{cases}
\]

Сначала, с помощью метода Гаусса или метода Крамера, решим систему уравнений \(x+y+12=0\) и \(7x+y=0\).
Умножим второе уравнение на 7 и вычтем из первого уравнения:
\(x+y+12-(7x+y)=0-7×0\), что дает нам \(-6x+12=0\).
Поделим обе части уравнения на -6, получаем \(x= -2\).

Подставим \(x= -2\) во второе уравнение системы \(7x+y=0\):
\(7×-2+y=0\), что дает нам \(-14+y=0\).
Добавим 14 к обеим частям уравнения: \(-14+14+y=0+14\).
Таким образом, получаем \(y=14\).

Итак, точка пересечения первых двух прямых равна \((-2,14)\).

Теперь найдем точку пересечения прямых \(x+y+12=0\) и \(7x-y+28=0\).
Снова решим систему уравнений \(x+y+12=0\) и \(7x-y+28=0\).
Умножим первое уравнение на 7 и сложим с вторым уравнением:
\(7(x+y+12)+(7x-y+28)=0+0\), что дает нам \(14x+56=0\).
Вычтем 56 из обеих частей уравнения: \(14x+56-56=0-56\).
Таким образом, получаем \(14x=-56\).
Поделим обе части уравнения на 14, получим \(x=-4\).

Подставим \(x=-4\) в первое уравнение системы \(x+y+12=0\):
\((-4)+y+12=0\), что дает нам \(-4+y+12=0\).
Вычтем 12 из обеих частей уравнения: \(-4+y+12-12=0-12\).
Таким образом, получим \(y=-8\).

Итак, точка пересечения первого и третьего прямых равна \((-4,-8)\).

2. Теперь мы можем найти стороны треугольника.

С помощью формулы расстояния между двумя точками, найдем длины сторон треугольника.
Строим сторону треугольника между точками (-2,14) и (-4,-8):

\[AB = \sqrt{(-4 - (-2))^2 + (-8-14)^2}\]
\[AB = \sqrt{(-2)^2 + (-22)^2}\]
\[AB = \sqrt{4 + 484}\]
\[AB = \sqrt{488}\]
\[AB = 22\]

Таким же образом, найдем длину стороны ВС между точками (-4,-8) и (0,-28). Вычисления покажут, что

\[BC = 20\]

и длину стороны AC между точками (0,-28) и (-2,14). Вычисления покажут, что

\[AC = \sqrt{520} = 2\sqrt{130}\]

3. Теперь проанализируем радиус и координаты центра вписанного круга.

Радиус \(r\) вписанного круга равен длине перпендикуляра, опущенного из центра круга на любую сторону треугольника.

Рассмотрим сторону AB треугольника, ее длина равна 22. Чтобы найти радиус, возьмем половину длины стороны AB. Таким образом, \(r = \frac{1}{2} \cdot 22 = 11\).

Центр \(c\) вписанного круга будет точкой пересечения биссектрис данного треугольника. Чтобы найти координаты центра, мы будем использовать формулы для нахождения точки пересечения двух прямых.

Биссектриса треугольника AB с координатами вершин A(-2,14), B(-4,-8) и центром O будет:
\(L_1: x + y - 12 = 0\)
\(L_2: \frac{x}{22} -\frac{y}{11} +\frac{26}{11} =0\)

Решим систему уравнений для \(L_1\) и \(L_2\):
Умножим \((L_2)\) на 2 и сложим с \((L_1)\):
\(2(\frac{x}{22} -\frac{y}{11} +\frac{26}{11}) + (x + y - 12) = 0 + 0\) (1)
\(2(\frac{x}{22}) -2(\frac{y}{11}) +2(\frac{26}{11}) + x + y - 12 = 0\)
\(\frac{2x}{11} - \frac{2y}{11} + \frac{52}{11} + x + y - 12 = 0\)
\(\frac{2x + 11x}{11} + \frac{-2y + 11y}{11} + \frac{52 + (-132)}{11} = 0\)
\(\frac{13x + 9y}{11} - \frac{80}{11} = 0\)
\(13x + 9y - 80 = 0\)

Умножим \(L_2\) на 3 и вычтем из нее \(L_1\) умноженную на 5:
\(3(\frac{x}{22} -\frac{y}{11} +\frac{26}{11}) - 5(x + y - 12) = 0 - 0\) (2)
\(3(\frac{x}{22}) -3(\frac{y}{11}) +3(\frac{26}{11}) - 5x - 5y + 60 = 0\)
\(\frac{3x}{11} - \frac{3y}{11} + \frac{78}{11} - 5x - 5y + 60 = 0\)
\(\frac{3x + 9x}{11} + \frac{-3y + 9y}{11} + \frac{78 + (-660)}{11} = 0\)
\(\frac{12x + 6y}{11} - \frac{582}{11} = 0\)
\(12x + 6y - 582 = 0\)

Решим систему уравнений \(12x + 6y - 582 = 0\) и \(13x + 9y - 80 = 0\) с помощью метода Гаусса.
\[
\begin{cases}
12x + 6y = 582 \\
13x + 9y = 80 \\
\end{cases}
\]

Умножим первое уравнение на 13 и второе на 12, затем вычтем первое из второго:
\(156x + 78y - 7566 - (156x + 108y - 960)\)
\(156x + 78y - 156x - 108y = 960 - 7566\)
\(-30y = -6606 \implies y = 220\)

Теперь подставим \(y = 220\) во второе уравнение системы:
\(13x + 9×220 =80\), что дает нам \(13x + 1980 = 80\), \(13x = 80 - 1980\), \(13x = -1900\), \(x = \frac{-1900}{13}\)

Итак, координаты центра \(c\) вписанного круга равны \(\left(\frac{-1900}{13}, 220\right)\).

Таким образом, координаты центра вписанного круга равны \(\left(\frac{-1900}{13}, 220\right)\), а радиус круга равен 11.

Итак, координаты центра c и радиус r круга, вписанного в треугольник с уравнениями \(x+y+12=0\), \(7x+y=0\) и \(7x-y+28=0\), соответственно, равны \(\left(\frac{-1900}{13}, 220\right)\) и 11.