№3. Какова площадь фигуры, которая ограничена следующими линиями: а) параболой = (x-2)^2, прямыми x=0 и x=3 и осью

Сначала рассмотрим уравнение параболы \(y = (x - 2)^2\). Это парабола, которая открывается вверх и имеет вершину в точке (2, 0), так как в уравнении \(y = a(x - h)^2 + k\) координаты вершины параболы задаются точкой (h, k).

Теперь взглянем на прямые x = 0 и x = 3. Прямая x = 0 является вертикальной линией, проходящей через точку (0, 0). Прямая x = 3 также является вертикальной линией, проходящей через точку (3, 0).

Наконец, у нас есть ось y, которая является горизонтальной линией и проходит через точку (0, 0).

Теперь можем построить график и определить площадь фигуры.

\[
\begin{align*}
\includegraphics[scale=0.4]{figure.png}
\end{align*}
\]

Площадь фигуры, ограниченной параболой \(y = (x - 2)^2\), прямыми x = 0 и x = 3 и осью y, можно определить как сумму площадей трех фигур: фигуры под параболой, фигуры между параболой и прямой x = 0 и фигуры между параболой и прямой x = 3.

Давайте найдем площади каждой из этих фигур.

1) Площадь фигуры под параболой:
Мы видим, что парабола пересекает ось y в точке (0, 4). Таким образом, площадь фигуры под параболой равна \(\int_{0}^{3} (x - 2)^2 \,dx\).

Для вычисления этого интеграла, раскроем скобки:

\[
\int_{0}^{3} (x^2 - 4x + 4) \,dx
\]

Теперь возьмем интеграл каждого слагаемого:

\[
\int_{0}^{3} x^2 \,dx - \int_{0}^{3} 4x \,dx + \int_{0}^{3} 4 \,dx
\]

\[
\left[\frac{{x^3}}{3}\right]_{0}^{3} - 4\left[\frac{{x^2}}{2}\right]_{0}^{3} + 4[x]_{0}^{3}
\]

Подставим значения пределов интегрирования:

\[
\frac{{3^3}}{3} - 4\cdot\frac{{3^2}}{2} + 4\cdot(3 - 0)
\]

\[
\frac{{27}}{3} - 4\cdot\frac{{9}}{2} + 4\cdot3
\]

\[
9 - 4\cdot4.5 + 12
\]

\[
9 - 18 + 12
\]

\[
3
\]

Таким образом, площадь фигуры под параболой равна 3.

2) Площадь фигуры между параболой и прямой x = 0:
Мы видим, что парабола и прямая x = 0 пересекаются в точке (0, 0). Таким образом, площадь фигуры между параболой и прямой x = 0 равна \(\int_{0}^{2} (x - 2)^2 \,dx\).

Раскроем скобки в интеграле:

\[
\int_{0}^{2} (x^2 - 4x + 4) \,dx
\]

Вычислим интеграл каждого слагаемого:

\[
\int_{0}^{2} x^2 \,dx - \int_{0}^{2} 4x \,dx + \int_{0}^{2} 4 \,dx
\]

\[
\left[\frac{{x^3}}{3}\right]_{0}^{2} - 4\left[\frac{{x^2}}{2}\right]_{0}^{2} + 4[x]_{0}^{2}
\]

Подставим значения пределов интегрирования:

\[
\frac{{2^3}}{3} - 4\cdot\frac{{2^2}}{2} + 4\cdot(2 - 0)
\]

\[
\frac{{8}}{3} - 4\cdot\frac{{4}}{2} + 4\cdot2
\]

\[
\frac{{8}}{3} - 4\cdot2 + 4\cdot2
\]

\[
\frac{{8}}{3} - 8 + 8
\]

\[
\frac{{8}}{3}
\]

Таким образом, площадь фигуры между параболой и прямой x = 0 равна \(\frac{{8}}{3}\).

3) Площадь фигуры между параболой и прямой x = 3:
Мы видим, что парабола и прямая x = 3 пересекаются в точке (3, 0). Таким образом, площадь фигуры между параболой и прямой x = 3 равна \(\int_{2}^{3} (x - 2)^2 \,dx\).

Раскроем скобки в интеграле:

\[
\int_{2}^{3} (x^2 - 4x + 4) \,dx
\]

Вычислим интеграл каждого слагаемого:

\[
\int_{2}^{3} x^2 \,dx - \int_{2}^{3} 4x \,dx + \int_{2}^{3} 4 \,dx
\]

\[
\left[\frac{{x^3}}{3}\right]_{2}^{3} - 4\left[\frac{{x^2}}{2}\right]_{2}^{3} + 4[x]_{2}^{3}
\]

Подставим значения пределов интегрирования:

\[
\frac{{3^3}}{3} - 4\cdot\frac{{3^2}}{2} + 4\cdot(3 - 2)
\]

\[
\frac{{27}}{3} - 4\cdot\frac{{9}}{2} + 4\cdot1
\]

\[
9 - 4\cdot4.5 + 4
\]

\[
9 - 18 + 4
\]

\[
-5
\]

Таким образом, площадь фигуры между параболой и прямой x = 3 равна -5.

Теперь суммируем площади всех трех фигур:

\[
3 + \frac{{8}}{3} + (-5) = \frac{{9}}{3} + \frac{{8}}{3} - \frac{{15}}{3} = \frac{{2}}{3}
\]

Итак, площадь фигуры, ограниченной параболой \(y = (x - 2)^2\), прямыми x = 0 и x = 3 и осью y, равна \(\frac{{2}}{3}\).