3. Какие варианты могут быть при расположении двух окружностей, где первая окружность имеет центр в точке О и радиус

см, можно получить три случая:

1) Если сумма длин двух сторон треугольника больше третьей стороны, то треугольник можно построить. В данном случае, сумма сторон 30 мм и 35 мм равняется 65 мм, что больше третьей стороны 20 см. Значит, это возможный вариант построения треугольника.

2) Если одна сторона треугольника больше суммы длин двух других сторон, то треугольник невозможно построить. В данном случае, сторона 35 мм больше суммы двух других сторон (30 мм + 20 мм = 50 мм). Следовательно, этот вариант невозможен.

3) Если две стороны треугольника равны или меньше третьей стороны, то треугольник невозможно построить. В данном случае, наибольшая сторона треугольника равна 35 мм, а сумма двух других сторон равна 30 мм + 20 мм = 50 мм, что больше 35 мм. Следовательно, и этот вариант невозможен.

Таким образом, возможность построения треугольника с заданными сторонами равна одному варианту из трех, а именно: треугольник возможно построить.

Для подробного объяснения данного ответа, можно рассмотреть неравенство треугольника. По неравенству треугольника для трех сторон должно выполняться следующее условие:

\(a + b > c\),

где \(a, b, c\) - длины сторон треугольника. Если это условие не выполняется, то треугольник невозможно построить. В данном случае, мы проверили это условие для всех трех вариантов и установили возможность или невозможность построения треугольника.